伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
発泡ポリスチレン, k = 0.035150 mmコンクリート, k = 1.4150 mm15 °C-8 °CTi​ = ?Q̇

壁は発泡ポリスチレン 150 mm とコンクリート 150 mm からなり、面積は 10 m² である。外側の両面は 15 °C と -8 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 15 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96250 mm石こうボード, k = 0.1750 mm室内 21 °C屋外 -11 °CTs​ = ?Q̇

250 mm のガラスと 50 mm の石こうボードからなる壁が、21 °C の部屋と -11 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -11 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT80 °C65 °C25 °C60 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 460 kW を伝える。 伝熱面積は 8 m² である。高温流体は 80 から 65 °C まで冷え、低温流体は 25 から 60 °C まで温まる。熱通過率 U を求めよ。

Q̇ = 460 kWA = 8 m²Th: 80 → 65 °CTc: 25 → 60 °C
U = W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT80 °C30 °C19.97 °C10 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 80 から 30 °C まで冷える。油は 10 °C で流入する水 3 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 300 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 80 → 30 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = −7.439 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.035·10) = 0.4286 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1.4·10) = 0.01071 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0.4393 = 52.36 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 52.36·0.4286 = −7.439 °C

答え

Ti = −7.439 °C
2.熱伝導

答え: Ts = 16.39 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0.0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0.96·8) = 0.03255 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·8) = 0.03676 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0.005 K/W
ΣR = 0.08682 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-11))/0.08682 = 368.6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 368.6·0.0125 = 16.39 °C

答え

Ts = 16.39 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: U = 2758 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 80 − 25 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 60 = 5 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 5)/ln(55/5) = 20.85 K

熱通過率

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 460000/(8·20.85) = 2758 W/(m²·K)

答え

U = 2758 W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 11.44 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2.5·50 = 125 kW
Tc,out = 10 + 125/(3·4.18) = 19.97 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 19.97 = 60.03 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 30 − 10 = 20 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60.03 − 20)/ln(60.03/20) = 36.42 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 125000/(300·36.42) = 11.44 m²

答え

A = 11.44 m²

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