伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.9650 mm石こうボード, k = 0.1750 mm24 °C-6 °CTi​ = ?Q̇

壁はガラス 50 mm と石こうボード 50 mm からなり、面積は 4 m² である。外側の両面は 24 °C と -6 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 24 °CT3 = -6 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
発泡ポリスチレン, k = 0.035200 mmれんが, k = 0.7225 mm室内 21 °C屋外 -8 °CQ̇ = ?

200 mm の発泡ポリスチレンと 25 mm のれんがからなる壁が、21 °C の部屋と -8 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 12 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -8 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT115 °C55 °C25 °C50 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 300 kW を伝える。 高温流体は 115 から 55 °C まで冷え、低温流体は 25 から 50 °C まで温まる。熱通過率は 1500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 300 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 115 → 55 °CTc: 25 → 50 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT95 °C50 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂並流

並流二重管式熱交換器で、高温の油（0.5 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、95 から 50 °C まで冷える。 環状部の水（1 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 25 °C で流入する。内管の直径は 40 mm で、U = 250 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 95 → 50 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 25 °CD = 40 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 19.49 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.96·4) = 0.01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·4) = 0.07353 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0.08655 = 346.6 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 346.6·0.01302 = 19.49 °C

答え

Ti = 19.49 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 58.79 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·12) = 0.01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.035·12) = 0.4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.72·12) = 0.002894 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0.003333 K/W
ΣR = 0.4932 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-8))/0.4932 = 58.79 W

答え

Q̇ = 58.79 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 6.801 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 115 − 25 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 50 = 5 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 5)/ln(90/5) = 29.41 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 300000/(1500·29.41) = 6.801 m²

答え

A = 6.801 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 55.21 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.5·2.5·(95 − 50) = 56.25 kW
Tc,out = 25 + 56.25/(1·4.18) = 38.46 °C

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 95 − 25 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 50 − 38.46 = 11.54 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 11.54)/ln(70/11.54) = 32.43 K

面積と長さ

A = 56250/(250·32.43) = 6.937 m²
L = A/(πD) = 6.937/(π·0.04) = 55.21 m

答え

L = 55.21 m

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