伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ロックウール, k = 0.0450 mmガラス, k = 0.9625 mm17 °C6 °CTi​ = ?Q̇

壁はロックウール 50 mm とガラス 25 mm からなり、面積は 20 m² である。外側の両面は 17 °C と 6 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 17 °CT3 = 6 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96200 mmコンクリート, k = 1.4150 mm室内 21 °C屋外 -3 °CQ̇

200 mm のガラスと 150 mm のコンクリートからなる壁が、21 °C の部屋と -3 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 10 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 10 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -3 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT130 °C20 °C65 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 130 °C で凝縮する。冷却水（0.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、20 から 65 °C まで温まる。熱通過率は 1000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 130 °Cṁ = 0.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 65 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT120 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

伝熱面積 5 m²、U = 1000 W/(m²·K) の復水器の管の外側で、蒸気が一定の 120 °C で凝縮する。冷却水（0.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 25 °C で管に流入する。水の出口温度 Tc,out を求めよ。

Ts = 120 °CA = 5 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 0.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 6.224 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.04·20) = 0.0625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.96·20) = 0.001302 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0.0638 = 172.4 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 172.4·0.0625 = 6.224 °C

答え

Ti = 6.224 °C
2.熱伝導

答え: U = 2.039 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·10) = 0.0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.96·10) = 0.02083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1.4·10) = 0.01071 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0.005 K/W
ΣR = 0.04905 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0.04905) = 2.039 W/(m²·K)

答え

U = 2.039 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 1.1 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 0.5·4.18·(65 − 20) = 94.05 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 130 − 20 = 110 K
ΔT₂ = 130 − 65 = 65 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 65)/ln(110/65) = 85.54 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 94050/(1000·85.54) = 1.1 m²

答え

A = 1.1 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Tc,out = 111.3 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

エネルギー収支と伝熱速度の式を組み合わせる

ΔT₁ = Ts − Tc,in、ΔT₂ = Ts − Tc,out とすると、差 ΔT₁ − ΔT₂ は水の温度上昇に等しいので、温度上昇は消去されます。

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·5/(0.5·4180) = 2.392

出口温度

ΔT₂ = ΔT₁·e−2.392 = 95·0.09142 = 8.684 K
Tc,out = 120 − 8.684 = 111.3 °C

答え

Tc,out = 111.3 °C

伝熱量：Q̇ = 180.4 kW。

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