伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
発泡ポリスチレン, k = 0.035100 mmロックウール, k = 0.04150 mm17 °C0 °CTi​ = ?Q̇

壁は発泡ポリスチレン 100 mm とロックウール 150 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 17 °C と 0 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 17 °CT3 = 0 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
コンクリート, k = 1.4100 mm石こうボード, k = 0.1750 mm室内 20 °C屋外 -1 °CTs​ = ?Q̇

100 mm のコンクリートと 50 mm の石こうボードからなる壁が、20 °C の部屋と -1 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -1 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT90 °C50 °C45 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

シェルアンドチューブ熱交換器（1 シェルパス、2 チューブパス）で 340 kW を伝えなければならない。高温流体は 90 から 50 °C まで冷え、低温流体は 30 から 45 °C まで温まる。この配置の LMTD 補正係数は F = 0.95、U = 500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 340 kWF = 0.95U = 500 W/(m²·K)Th: 90 → 50 °CTc: 30 → 45 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT115 °C85 °C35.05 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（2 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 115 から 85 °C まで冷える。油は 25 °C で流入する水 3 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 300 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 115 → 85 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 9.649 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.035·6) = 0.4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.04·6) = 0.625 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 17/1.101 = 15.44 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 15.44·0.4762 = 9.649 °C

答え

Ti = 9.649 °C
2.熱伝導

答え: Ts = 15.05 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0.01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1.4·8) = 0.008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·8) = 0.03676 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0.005 K/W
ΣR = 0.06632 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (-1))/0.06632 = 316.7 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 316.7·0.01563 = 15.05 °C

答え

Ts = 15.05 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 23.22 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差（向流）

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 45 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 30 = 20 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 20)/ln(45/20) = 30.83 K

面積

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 340000/(500·0.95·30.83) = 23.22 m²

答え

A = 23.22 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 6.043 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2.1·30 = 126 kW
Tc,out = 25 + 126/(3·4.18) = 35.05 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 35.05 = 79.95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (79.95 − 60)/ln(79.95/60) = 69.5 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 126000/(300·69.5) = 6.043 m²

答え

A = 6.043 m²

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