伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
木材, k = 0.17200 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03575 mm15 °C-2 °CTi​ = ?Q̇

壁は木材 200 mm と発泡ポリスチレン 75 mm からなり、面積は 10 m² である。外側の両面は 15 °C と -2 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 15 °CT3 = -2 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
石こうボード, k = 0.1750 mmロックウール, k = 0.0450 mm室内 21 °C屋外 -1 °CQ̇ = ?

50 mm の石こうボードと 50 mm のロックウールからなる壁が、21 °C の部屋と -1 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 12 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -1 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT80 °C60 °C60 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 250 kW を伝える。 高温流体は 80 から 60 °C まで冷え、低温流体は 30 から 60 °C まで温まる。熱通過率は 200 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 250 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 80 → 60 °CTc: 30 → 60 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT175 °C120 °C60.26 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 175 から 120 °C まで冷える。油は 30 °C で流入する水 1 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 500 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 175 → 120 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 8.975 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.17·10) = 0.1176 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.035·10) = 0.2143 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 17/0.3319 = 51.22 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 51.22·0.1176 = 8.975 °C

答え

Ti = 8.975 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 153.6 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0.01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.17·12) = 0.02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.04·12) = 0.1042 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0.004167 K/W
ΣR = 0.1433 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-1))/0.1433 = 153.6 W

答え

Q̇ = 153.6 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 50.68 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 60 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 30 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 30)/ln(20/30) = 24.66 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 250000/(200·24.66) = 50.68 m²

答え

A = 50.68 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 2.484 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2.3·55 = 126.5 kW
Tc,out = 30 + 126.5/(1·4.18) = 60.26 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 60.26 = 114.7 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 120 − 30 = 90 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (114.7 − 90)/ln(114.7/90) = 101.9 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 126500/(500·101.9) = 2.484 m²

答え

A = 2.484 m²

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