伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
石こうボード, k = 0.17100 mmれんが, k = 0.72100 mm21 °C-8 °CTi​ = ?Q̇

壁は石こうボード 100 mm とれんが 100 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 21 °C と -8 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 21 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
れんが, k = 0.72200 mm木材, k = 0.17150 mm室内 21 °C屋外 -12 °CQ̇ = ?

200 mm のれんがと 150 mm の木材からなる壁が、21 °C の部屋と -12 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 20 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -12 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT140 °C25 °C70 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 140 °C で凝縮する。冷却水（1.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、25 から 70 °C まで温まる。熱通過率は 1500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 140 °Cṁ = 1.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 70 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT90 °C??10 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器で、両方の流体の熱容量流量は等しく ṁ·cp = 4 kW/K である。高温流体は 90 °C、低温流体は 10 °C で流入する。熱交換器の A = 3 m²、U = 500 W/(m²·K) である。高温側の出口温度 Th,out を求めよ。

Ch = Cc = 4 kW/KTh,in = 90 °CTc,in = 10 °CA = 3 m²U = 500 W/(m²·K)
Th,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = −2.461 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.17·6) = 0.09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.72·6) = 0.02315 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0.1212 = 239.3 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 239.3·0.09804 = −2.461 °C

答え

Ti = −2.461 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 498.1 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·20) = 0.00625 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.72·20) = 0.01389 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.17·20) = 0.04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0.002 K/W
ΣR = 0.06626 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-12))/0.06626 = 498.1 W

答え

Q̇ = 498.1 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 2.075 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 1.5·4.18·(70 − 25) = 282.1 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 140 − 25 = 115 K
ΔT₂ = 140 − 70 = 70 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 70)/ln(115/70) = 90.65 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 282150/(1500·90.65) = 2.075 m²

答え

A = 2.075 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Th,out = 68.18 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

一定の温度差

低温側の出口は高温側の入口と向き合います：Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out)、したがって ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂。

ΔTlm = Th,out − Tc,in

エネルギー収支 = 伝熱速度の式

4·(90 − Th,out) = 1.5·(Th,out − 10)
Th,out = (4·90 + 1.5·10)/(4 + 1.5) = 68.18 °C

答え

Th,out = 68.18 °C

伝熱量：Q̇ = 87.27 kW。低温流体は 31.82 °C で流出します。

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