伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
発泡ポリスチレン, k = 0.035200 mmれんが, k = 0.72150 mm18 °C-12 °CTi​ = ?Q̇

壁は発泡ポリスチレン 200 mm とれんが 150 mm からなり、面積は 10 m² である。外側の両面は 18 °C と -12 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 18 °CT3 = -12 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96200 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03550 mm室内 20 °C屋外 -9 °CQ̇ = ?

200 mm のガラスと 50 mm の発泡ポリスチレンからなる壁が、20 °C の部屋と -9 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 20 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -9 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT130 °C85 °C20 °C30 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 410 kW を伝える。 高温流体は 130 から 85 °C まで冷え、低温流体は 20 から 30 °C まで温まる。熱通過率は 800 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 410 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 130 → 85 °CTc: 20 → 30 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT150 °C105 °C69.52 °C20 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 150 から 105 °C まで冷える。油は 20 °C で流入する水 0.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 500 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 150 → 105 °Cṁc = 0.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = −10.94 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.035·10) = 0.5714 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.72·10) = 0.02083 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0.5923 = 50.65 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 50.65·0.5714 = −10.94 °C

答え

Ti = −10.94 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 327.6 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0.005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.96·20) = 0.01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.035·20) = 0.07143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0.001667 K/W
ΣR = 0.08851 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (-9))/0.08851 = 327.6 W

答え

Q̇ = 327.6 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 6.459 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 20 = 110 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 85 − 30 = 55 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 55)/ln(110/55) = 79.35 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 410000/(800·79.35) = 6.459 m²

答え

A = 6.459 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 2.502 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2.3·45 = 103.5 kW
Tc,out = 20 + 103.5/(0.5·4.18) = 69.52 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 69.52 = 80.48 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 20 = 85 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80.48 − 85)/ln(80.48/85) = 82.72 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 103500/(500·82.72) = 2.502 m²

答え

A = 2.502 m²

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