伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.96100 mmコンクリート, k = 1.425 mm16 °C-8 °CTi​ = ?Q̇

壁はガラス 100 mm とコンクリート 25 mm からなり、面積は 10 m² である。外側の両面は 16 °C と -8 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 16 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
れんが, k = 0.7250 mmガラス, k = 0.9650 mm室内 22 °C屋外 5 °CTs​ = ?Q̇

50 mm のれんがと 50 mm のガラスからなる壁が、22 °C の部屋と 5 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 12 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 5 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT105 °C75 °C35 °C10 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 220 kW を伝える。 伝熱面積は 12 m² である。高温流体は 105 から 75 °C まで冷え、低温流体は 10 から 35 °C まで温まる。熱通過率 U を求めよ。

Q̇ = 220 kWA = 12 m²Th: 105 → 75 °CTc: 10 → 35 °C
U = W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT100 °C60 °C36 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 100 から 60 °C まで冷える。油は 25 °C で流入する水 3 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 300 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 100 → 60 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = −4.488 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.96·10) = 0.01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1.4·10) = 0.001786 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0.0122 = 1967 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 1967·0.01042 = −4.488 °C

答え

Ti = −4.488 °C
2.熱伝導

答え: Ts = 13.37 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0.01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.72·12) = 0.005787 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.96·12) = 0.00434 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0.003333 K/W
ΣR = 0.02735 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (5))/0.02735 = 621.6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 621.6·0.01389 = 13.37 °C

答え

Ts = 13.37 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: U = 271.7 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 35 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 10 = 65 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 65)/ln(70/65) = 67.47 K

熱通過率

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 220000/(12·67.47) = 271.7 W/(m²·K)

答え

U = 271.7 W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 9.574 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.3·40 = 138 kW
Tc,out = 25 + 138/(3·4.18) = 36 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 36 = 64 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (64 − 35)/ln(64/35) = 48.05 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 138000/(300·48.05) = 9.574 m²

答え

A = 9.574 m²

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