伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
石こうボード, k = 0.17100 mmガラス, k = 0.96150 mm19 °C-6 °CQ̇ = ?

壁は石こうボード 100 mm とガラス 150 mm からなり、面積は 10 m² である。外側の両面は 19 °C と -6 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 19 °CT3 = -6 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
石こうボード, k = 0.17100 mmコンクリート, k = 1.475 mm室内 21 °C屋外 -5 °CQ̇

100 mm の石こうボードと 75 mm のコンクリートからなる壁が、21 °C の部屋と -5 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -5 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT145 °C45 °C65 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 220 kW を伝える。 伝熱面積は 6 m² である。高温流体は 145 から 45 °C まで冷え、低温流体は 30 から 65 °C まで温まる。熱通過率 U を求めよ。

Q̇ = 220 kWA = 6 m²Th: 145 → 45 °CTc: 30 → 65 °C
U = W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT170 °C40 °C80.31 °C15 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 170 から 40 °C まで冷える。油は 15 °C で流入する水 1 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 800 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 170 → 40 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 335.8 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.17·10) = 0.05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.96·10) = 0.01563 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0.07445 = 335.8 W

答え

Q̇ = 335.8 W
2.熱伝導

答え: U = 1.188 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0.02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.17·8) = 0.07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1.4·8) = 0.006696 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0.004167 K/W
ΣR = 0.1052 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0.1052) = 1.188 W/(m²·K)

答え

U = 1.188 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: U = 944.3 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 65 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 30 = 15 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 15)/ln(80/15) = 38.83 K

熱通過率

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 220000/(6·38.83) = 944.3 W/(m²·K)

答え

U = 944.3 W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 6.739 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2.1·130 = 273 kW
Tc,out = 15 + 273/(1·4.18) = 80.31 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 80.31 = 89.69 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 15 = 25 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (89.69 − 25)/ln(89.69/25) = 50.64 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 273000/(800·50.64) = 6.739 m²

答え

A = 6.739 m²

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