伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
石こうボード, k = 0.17200 mmガラス, k = 0.9650 mm17 °C-15 °CTi​ = ?Q̇

壁は石こうボード 200 mm とガラス 50 mm からなり、面積は 10 m² である。外側の両面は 17 °C と -15 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 17 °CT3 = -15 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
れんが, k = 0.72150 mmコンクリート, k = 1.4100 mm室内 22 °C屋外 -12 °CQ̇ = ?

150 mm のれんがと 100 mm のコンクリートからなる壁が、22 °C の部屋と -12 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 10 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -12 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT150 °C110 °C110 °C10 °CΔT₁ΔT₂向流

シェルアンドチューブ熱交換器（1 シェルパス、2 チューブパス）で 280 kW を伝えなければならない。高温流体は 150 から 110 °C まで冷え、低温流体は 10 から 110 °C まで温まる。この配置の LMTD 補正係数は F = 0.88、U = 800 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 280 kWF = 0.88U = 800 W/(m²·K)Th: 150 → 110 °CTc: 10 → 110 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT115 °C50 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂並流

並流二重管式熱交換器で、高温の油（0.3 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、115 から 50 °C まで冷える。 環状部の水（1 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 20 °C で流入する。内管の直径は 20 mm で、U = 250 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.3 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 115 → 50 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 20 °CD = 20 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = −13.64 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.17·10) = 0.1176 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.96·10) = 0.005208 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0.1229 = 260.5 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 260.5·0.1176 = −13.64 °C

答え

Ti = −13.64 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 739.7 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·10) = 0.01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.72·10) = 0.02083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1.4·10) = 0.007143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0.005 K/W
ΣR = 0.04596 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (-12))/0.04596 = 739.7 W

答え

Q̇ = 739.7 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 6.074 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差（向流）

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 110 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 10 = 100 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 100)/ln(40/100) = 65.48 K

面積

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 280000/(800·0.88·65.48) = 6.074 m²

答え

A = 6.074 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 60.15 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.3·2.3·(115 − 50) = 44.85 kW
Tc,out = 20 + 44.85/(1·4.18) = 30.73 °C

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 115 − 20 = 95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 50 − 30.73 = 19.27 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 19.27)/ln(95/19.27) = 47.47 K

面積と長さ

A = 44850/(250·47.47) = 3.779 m²
L = A/(πD) = 3.779/(π·0.02) = 60.15 m

答え

L = 60.15 m

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