伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.96100 mmコンクリート, k = 1.450 mm17 °C4 °CTi​ = ?Q̇

壁はガラス 100 mm とコンクリート 50 mm からなり、面積は 4 m² である。外側の両面は 17 °C と 4 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 17 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ロックウール, k = 0.0450 mmれんが, k = 0.7275 mm室内 22 °C屋外 -8 °CQ̇ = ?

50 mm のロックウールと 75 mm のれんがからなる壁が、22 °C の部屋と -8 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 15 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -8 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT110 °C10 °C25 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 110 °C で凝縮する。冷却水（4 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、10 から 25 °C まで温まる。熱通過率は 3500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 110 °Cṁ = 4 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 25 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT145 °C50 °C?10 °CΔT₁ΔT₂向流

向流二重管式熱交換器で、高温の油（0.8 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、145 から 50 °C まで冷える。 環状部の水（0.8 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 10 °C で流入する。内管の直径は 50 mm で、U = 200 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.8 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 145 → 50 °Cṁc = 0.8 kg/sTc,in = 10 °CD = 50 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 7.319 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.96·4) = 0.02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1.4·4) = 0.008929 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0.03497 = 371.7 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 371.7·0.02604 = 7.319 °C

答え

Ti = 7.319 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 289.5 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0.01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.04·15) = 0.08333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.72·15) = 0.006944 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0.002222 K/W
ΣR = 0.1036 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (-8))/0.1036 = 289.5 W

答え

Q̇ = 289.5 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 0.7764 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 4·4.18·(25 − 10) = 250.8 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 110 − 10 = 100 K
ΔT₂ = 110 − 25 = 85 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 85)/ln(100/85) = 92.3 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 250800/(3500·92.3) = 0.7764 m²

答え

A = 0.7764 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 106.2 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.8·2.5·(145 − 50) = 190 kW
Tc,out = 10 + 190/(0.8·4.18) = 66.82 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 66.82 = 78.18 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 10 = 40 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (78.18 − 40)/ln(78.18/40) = 56.97 K

面積と長さ

A = 190000/(200·56.97) = 16.67 m²
L = A/(πD) = 16.67/(π·0.05) = 106.2 m

答え

L = 106.2 m

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