伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
れんが, k = 0.72100 mmロックウール, k = 0.0475 mm21 °C-5 °CQ̇ = ?

壁はれんが 100 mm とロックウール 75 mm からなり、面積は 4 m² である。外側の両面は 21 °C と -5 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 21 °CT3 = -5 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96200 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03525 mm室内 21 °C屋外 -6 °CQ̇ = ?

200 mm のガラスと 25 mm の発泡ポリスチレンからなる壁が、21 °C の部屋と -6 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 6 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -6 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT110 °C70 °C30 °C65 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 500 kW を伝える。 高温流体は 110 から 70 °C まで冷え、低温流体は 30 から 65 °C まで温まる。熱通過率は 300 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 500 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 110 → 70 °CTc: 30 → 65 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT130 °C85 °C?15 °CΔT₁ΔT₂向流

向流二重管式熱交換器で、高温の油（0.5 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、130 から 85 °C まで冷える。 環状部の水（1.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 15 °C で流入する。内管の直径は 50 mm で、U = 500 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 130 → 85 °Cṁc = 1.5 kg/sTc,in = 15 °CD = 50 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 51.64 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.72·4) = 0.03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.04·4) = 0.4688 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0.5035 = 51.64 W

答え

Q̇ = 51.64 W
2.熱伝導

答え: Q̇ = 144.3 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0.02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.96·6) = 0.03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.035·6) = 0.119 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0.005556 K/W
ΣR = 0.1871 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-6))/0.1871 = 144.3 W

答え

Q̇ = 144.3 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 61.61 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 110 − 30 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 65 = 5 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 5)/ln(80/5) = 27.05 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 500000/(300·27.05) = 61.61 m²

答え

A = 61.61 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 7.566 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.5·2.3·(130 − 85) = 51.75 kW
Tc,out = 15 + 51.75/(1.5·4.18) = 23.25 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 23.25 = 106.7 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 15 = 70 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (106.7 − 70)/ln(106.7/70) = 87.08 K

面積と長さ

A = 51750/(500·87.08) = 1.188 m²
L = A/(πD) = 1.188/(π·0.05) = 7.566 m

答え

L = 7.566 m

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