伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
コンクリート, k = 1.4200 mm発泡ポリスチレン, k = 0.035100 mm16 °C-7 °CQ̇ = ?

壁はコンクリート 200 mm と発泡ポリスチレン 100 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 16 °C と -7 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 16 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
れんが, k = 0.72250 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03575 mm室内 20 °C屋外 -13 °CTs​ = ?Q̇

250 mm のれんがと 75 mm の発泡ポリスチレンからなる壁が、20 °C の部屋と -13 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 4 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -13 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT115 °C55 °C105 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 340 kW を伝える。 高温流体は 115 から 55 °C まで冷え、低温流体は 25 から 105 °C まで温まる。熱通過率は 800 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 340 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 115 → 55 °CTc: 25 → 105 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT130 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

伝熱面積 3 m²、U = 2500 W/(m²·K) の復水器の管の外側で、蒸気が一定の 130 °C で凝縮する。冷却水（3 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 25 °C で管に流入する。水の出口温度 Tc,out を求めよ。

Ts = 130 °CA = 3 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 3 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 46 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1.4·6) = 0.02381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.035·6) = 0.4762 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0.5 = 46 W

答え

Q̇ = 46 W
2.熱伝導

答え: Ts = 18.39 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·4) = 0.03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0.72·4) = 0.08681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.035·4) = 0.5357 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0.0125 K/W
ΣR = 0.6675 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (-13))/0.6675 = 49.44 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 49.44·0.03247 = 18.39 °C

答え

Ts = 18.39 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 23.35 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 105 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 30)/ln(10/30) = 18.2 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 340000/(800·18.2) = 23.35 m²

答え

A = 23.35 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Tc,out = 72.26 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

エネルギー収支と伝熱速度の式を組み合わせる

ΔT₁ = Ts − Tc,in、ΔT₂ = Ts − Tc,out とすると、差 ΔT₁ − ΔT₂ は水の温度上昇に等しいので、温度上昇は消去されます。

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·3/(3·4180) = 0.5981

出口温度

ΔT₂ = ΔT₁·e−0.5981 = 105·0.5499 = 57.74 K
Tc,out = 130 − 57.74 = 72.26 °C

答え

Tc,out = 72.26 °C

伝熱量：Q̇ = 592.7 kW。

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