伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
発泡ポリスチレン, k = 0.035100 mm木材, k = 0.17100 mm21 °C7 °CTi​ = ?Q̇

壁は発泡ポリスチレン 100 mm と木材 100 mm からなり、面積は 4 m² である。外側の両面は 21 °C と 7 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 21 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96100 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03575 mm室内 21 °C屋外 -10 °CTs​ = ?Q̇

100 mm のガラスと 75 mm の発泡ポリスチレンからなる壁が、21 °C の部屋と -10 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 10 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 10 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -10 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT100 °C50 °C80 °C15 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 20 kW を伝える。 高温流体は 100 から 50 °C まで冷え、低温流体は 15 から 80 °C まで温まる。熱通過率は 1000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 20 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 100 → 50 °CTc: 15 → 80 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT160 °C??10 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器で、両方の流体の熱容量流量は等しく ṁ·cp = 0.5 kW/K である。高温流体は 160 °C、低温流体は 10 °C で流入する。熱交換器の A = 3 m²、U = 500 W/(m²·K) である。高温側の出口温度 Th,out を求めよ。

Ch = Cc = 0.5 kW/KTh,in = 160 °CTc,in = 10 °CA = 3 m²U = 500 W/(m²·K)
Th,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 9.39 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.035·4) = 0.7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.17·4) = 0.1471 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0.8613 = 16.25 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 16.25·0.7143 = 9.39 °C

答え

Ti = 9.39 °C
2.熱伝導

答え: Ts = 19.4 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·10) = 0.0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.96·10) = 0.01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.035·10) = 0.2143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0.005 K/W
ΣR = 0.2422 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-10))/0.2422 = 128 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 128·0.0125 = 19.4 °C

答え

Ts = 19.4 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 0.7462 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 80 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 15 = 35 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 35)/ln(20/35) = 26.8 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 20000/(1000·26.8) = 0.7462 m²

答え

A = 0.7462 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Th,out = 47.5 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

一定の温度差

低温側の出口は高温側の入口と向き合います：Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out)、したがって ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂。

ΔTlm = Th,out − Tc,in

エネルギー収支 = 伝熱速度の式

0.5·(160 − Th,out) = 1.5·(Th,out − 10)
Th,out = (0.5·160 + 1.5·10)/(0.5 + 1.5) = 47.5 °C

答え

Th,out = 47.5 °C

伝熱量：Q̇ = 56.25 kW。低温流体は 122.5 °C で流出します。

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