伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.96100 mmれんが, k = 0.7250 mm19 °C9 °CTi​ = ?Q̇

壁はガラス 100 mm とれんが 50 mm からなり、面積は 10 m² である。外側の両面は 19 °C と 9 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 19 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ロックウール, k = 0.04100 mmれんが, k = 0.72100 mm室内 20 °C屋外 2 °CTs​ = ?Q̇

100 mm のロックウールと 100 mm のれんがからなる壁が、20 °C の部屋と 2 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 12 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 2 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT115 °C85 °C15 °C75 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 230 kW を伝える。 伝熱面積は 8 m² である。高温流体は 115 から 85 °C まで冷え、低温流体は 15 から 75 °C まで温まる。熱通過率 U を求めよ。

Q̇ = 230 kWA = 8 m²Th: 115 → 85 °CTc: 15 → 75 °C
U = W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT85 °C??25 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器で、両方の流体の熱容量流量は等しく ṁ·cp = 2 kW/K である。高温流体は 85 °C、低温流体は 25 °C で流入する。熱交換器の A = 6 m²、U = 800 W/(m²·K) である。高温側の出口温度 Th,out を求めよ。

Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 85 °CTc,in = 25 °CA = 6 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 13 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.96·10) = 0.01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.72·10) = 0.006944 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0.01736 = 576 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 576·0.01042 = 13 °C

答え

Ti = 13 °C
2.熱伝導

答え: Ts = 19.17 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·12) = 0.01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.04·12) = 0.2083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.72·12) = 0.01157 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0.002778 K/W
ΣR = 0.2335 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (2))/0.2335 = 77.09 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 77.09·0.01082 = 19.17 °C

答え

Ts = 19.17 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: U = 735.5 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 115 − 15 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 85 − 75 = 10 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 10)/ln(100/10) = 39.09 K

熱通過率

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 230000/(8·39.09) = 735.5 W/(m²·K)

答え

U = 735.5 W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Th,out = 42.65 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

一定の温度差

低温側の出口は高温側の入口と向き合います：Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out)、したがって ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂。

ΔTlm = Th,out − Tc,in

エネルギー収支 = 伝熱速度の式

2·(85 − Th,out) = 4.8·(Th,out − 25)
Th,out = (2·85 + 4.8·25)/(2 + 4.8) = 42.65 °C

答え

Th,out = 42.65 °C

伝熱量：Q̇ = 84.71 kW。低温流体は 67.35 °C で流出します。

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