伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
コンクリート, k = 1.4250 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03525 mm24 °C8 °CQ̇ = ?

壁はコンクリート 250 mm と発泡ポリスチレン 25 mm からなり、面積は 10 m² である。外側の両面は 24 °C と 8 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 24 °CT3 = 8 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
木材, k = 0.17150 mm発泡ポリスチレン, k = 0.035100 mm室内 20 °C屋外 2 °CQ̇ = ?

150 mm の木材と 100 mm の発泡ポリスチレンからなる壁が、20 °C の部屋と 2 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 6 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 2 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT85 °C70 °C65 °C15 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 210 kW を伝える。 伝熱面積は 3 m² である。高温流体は 85 から 70 °C まで冷え、低温流体は 15 から 65 °C まで温まる。熱通過率 U を求めよ。

Q̇ = 210 kWA = 3 m²Th: 85 → 70 °CTc: 15 → 65 °C
U = W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT80 °C??10 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器で、両方の流体の熱容量流量は等しく ṁ·cp = 1 kW/K である。高温流体は 80 °C、低温流体は 10 °C で流入する。熱交換器の A = 1.5 m²、U = 800 W/(m²·K) である。高温側の出口温度 Th,out を求めよ。

Ch = Cc = 1 kW/KTh,in = 80 °CTc,in = 10 °CA = 1.5 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 179.2 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1.4·10) = 0.01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.035·10) = 0.07143 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0.08929 = 179.2 W

答え

Q̇ = 179.2 W
2.熱伝導

答え: Q̇ = 27.59 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0.02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.17·6) = 0.1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.035·6) = 0.4762 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0.008333 K/W
ΣR = 0.6524 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (2))/0.6524 = 27.59 W

答え

Q̇ = 27.59 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: U = 2023 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 65 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 15 = 55 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 55)/ln(20/55) = 34.6 K

熱通過率

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 210000/(3·34.6) = 2023 W/(m²·K)

答え

U = 2023 W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Th,out = 41.82 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

一定の温度差

低温側の出口は高温側の入口と向き合います：Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out)、したがって ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂。

ΔTlm = Th,out − Tc,in

エネルギー収支 = 伝熱速度の式

1·(80 − Th,out) = 1.2·(Th,out − 10)
Th,out = (1·80 + 1.2·10)/(1 + 1.2) = 41.82 °C

答え

Th,out = 41.82 °C

伝熱量：Q̇ = 38.18 kW。低温流体は 48.18 °C で流出します。

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