伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ロックウール, k = 0.04100 mmガラス, k = 0.9675 mm20 °C-3 °CTi​ = ?Q̇

壁はロックウール 100 mm とガラス 75 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 20 °C と -3 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 20 °CT3 = -3 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
石こうボード, k = 0.17100 mmれんが, k = 0.7250 mm室内 20 °C屋外 -11 °CQ̇

100 mm の石こうボードと 50 mm のれんがからなる壁が、20 °C の部屋と -11 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 20 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -11 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT150 °C135 °C20 °C115 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 340 kW を伝える。 高温流体は 150 から 135 °C まで冷え、低温流体は 20 から 115 °C まで温まる。熱通過率は 1000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 340 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 150 → 135 °CTc: 20 → 115 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT140 °C50 °C68.83 °C15 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（2 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 140 から 50 °C まで冷える。油は 15 °C で流入する水 2 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 1500 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 140 → 50 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = −2.303 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.04·6) = 0.4167 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.96·6) = 0.01302 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0.4297 = 53.53 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 53.53·0.4167 = −2.303 °C

答え

Ti = −2.303 °C
2.熱伝導

答え: U = 1.166 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0.008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.17·20) = 0.02941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.72·20) = 0.003472 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0.001667 K/W
ΣR = 0.04288 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0.04288) = 1.166 W/(m²·K)

答え

U = 1.166 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 5.786 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 150 − 20 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 135 − 115 = 20 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 20)/ln(130/20) = 58.77 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 340000/(1000·58.77) = 5.786 m²

答え

A = 5.786 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 5.886 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2.5·90 = 450 kW
Tc,out = 15 + 450/(2·4.18) = 68.83 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 68.83 = 71.17 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 15 = 35 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (71.17 − 35)/ln(71.17/35) = 50.96 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 450000/(1500·50.96) = 5.886 m²

答え

A = 5.886 m²

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