伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
発泡ポリスチレン, k = 0.035200 mmれんが, k = 0.7275 mm19 °C-12 °CTi​ = ?Q̇

壁は発泡ポリスチレン 200 mm とれんが 75 mm からなり、面積は 8 m² である。外側の両面は 19 °C と -12 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 19 °CT3 = -12 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
れんが, k = 0.72150 mmガラス, k = 0.9650 mm室内 21 °C屋外 3 °CQ̇ = ?

150 mm のれんがと 50 mm のガラスからなる壁が、21 °C の部屋と 3 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 20 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 3 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT145 °C60 °C25 °C50 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 50 kW を伝える。 伝熱面積は 2.5 m² である。高温流体は 145 から 60 °C まで冷え、低温流体は 25 から 50 °C まで温まる。熱通過率 U を求めよ。

Q̇ = 50 kWA = 2.5 m²Th: 145 → 60 °CTc: 25 → 50 °C
U = W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT115 °C75 °C43.4 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（2 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 115 から 75 °C まで冷える。油は 30 °C で流入する水 3 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 500 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 115 → 75 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = −11.45 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.035·8) = 0.7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.72·8) = 0.01302 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0.7273 = 42.62 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 42.62·0.7143 = −11.45 °C

答え

Ti = −11.45 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 877.2 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0.005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.72·20) = 0.01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.96·20) = 0.002604 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0.0025 K/W
ΣR = 0.02052 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (3))/0.02052 = 877.2 W

答え

Q̇ = 877.2 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: U = 451.8 W/(m²·K)

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 145 − 25 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 60 − 50 = 10 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 10)/ln(120/10) = 44.27 K

熱通過率

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 50000/(2.5·44.27) = 451.8 W/(m²·K)

答え

U = 451.8 W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 5.866 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2.1·40 = 168 kW
Tc,out = 30 + 168/(3·4.18) = 43.4 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 43.4 = 71.6 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 30 = 45 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (71.6 − 45)/ln(71.6/45) = 57.28 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 168000/(500·57.28) = 5.866 m²

答え

A = 5.866 m²

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