熱伝導
- フーリエの法則
- Q̇ = kAΔT/L
- 熱伝導抵抗
- R = L/(kA)
- 対流熱抵抗
- R = 1/(hA)
- 直列の熱抵抗
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U 値
- U = 1/(ΣR·A)
伝熱工学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
熱交換器 (LMTD)
- 交換熱量
- Q = U·A·ΔTlm
- 対数平均温度差
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- 流体ごとの熱収支
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2演習問題
1.熱伝導ふつう
壁は石こうボード 100 mm とガラス 100 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 17 °C と 7 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。
L1 = 100 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 17 °CT3 = 7 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
200 mm のロックウールと 150 mm のれんがからなる壁が、22 °C の部屋と -2 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 6 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。
L1 = 200 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -2 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
向流熱交換器が 30 kW を伝える。 高温流体は 110 から 85 °C まで冷え、低温流体は 25 から 55 °C まで温まる。熱通過率は 800 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。
Q̇ = 30 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 110 → 85 °CTc: 25 → 55 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
高温の油（2 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 125 から 85 °C まで冷える。油は 25 °C で流入する水 1 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 200 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。
ṁh = 2 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 125 → 85 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3溶液
1.熱伝導
答え: Q̇ = 86.65 W
熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。
各層の熱抵抗
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.17·6) = 0.09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.96·6) = 0.01736 K/W
熱流量
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0.1154 = 86.65 W
答え
Q̇ = 86.65 W
2.熱伝導
答え: U = 0.1843 W/(m²·K)
熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。
直列の熱抵抗
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0.02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.04·6) = 0.8333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.72·6) = 0.03472 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0.008333 K/W
ΣR = 0.9042 K/W
熱通過率
U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0.9042) = 0.1843 W/(m²·K)
答え
U = 0.1843 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)
答え: A = 0.6526 m²
LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。
両端の温度差
向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 55 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 60)/ln(55/60) = 57.46 K
面積
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 30000/(800·57.46) = 0.6526 m²
答え
A = 0.6526 m²
4.熱交換器 (LMTD)
答え: A = 17.86 m²
LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。
熱負荷と水の出口温度
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2.5·40 = 200 kW
Tc,out = 25 + 200/(1·4.18) = 72.85 °C
両端の温度差
向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 72.85 = 52.15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (52.15 − 60)/ln(52.15/60) = 55.98 K
面積
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 200000/(200·55.98) = 17.86 m²
答え
A = 17.86 m²
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