伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
石こうボード, k = 0.17200 mmれんが, k = 0.72100 mm22 °C-10 °CTi​ = ?Q̇

壁は石こうボード 200 mm とれんが 100 mm からなり、面積は 8 m² である。外側の両面は 22 °C と -10 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 22 °CT3 = -10 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
発泡ポリスチレン, k = 0.035200 mmガラス, k = 0.9675 mm室内 21 °C屋外 -2 °CQ̇ = ?

200 mm の発泡ポリスチレンと 75 mm のガラスからなる壁が、21 °C の部屋と -2 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 6 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -2 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT85 °C60 °C75 °C20 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 280 kW を伝える。 伝熱面積は 15 m² である。高温流体は 85 から 60 °C まで冷え、低温流体は 20 から 75 °C まで温まる。熱通過率 U を求めよ。

Q̇ = 280 kWA = 15 m²Th: 85 → 60 °CTc: 20 → 75 °C
U = W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT110 °C40 °C33.44 °C10 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 110 から 40 °C まで冷える。油は 10 °C で流入する水 1.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 800 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 110 → 40 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = −6.621 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.17·8) = 0.1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.72·8) = 0.01736 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0.1644 = 194.6 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 194.6·0.1471 = −6.621 °C

答え

Ti = −6.621 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 23.13 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0.02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.035·6) = 0.9524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.96·6) = 0.01302 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0.008333 K/W
ΣR = 0.9946 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-2))/0.9946 = 23.13 W

答え

Q̇ = 23.13 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: U = 862.6 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 75 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 20 = 40 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 40)/ln(10/40) = 21.64 K

熱通過率

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 280000/(15·21.64) = 862.6 W/(m²·K)

答え

U = 862.6 W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 3.698 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2.1·70 = 147 kW
Tc,out = 10 + 147/(1.5·4.18) = 33.44 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 33.44 = 76.56 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 10 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (76.56 − 30)/ln(76.56/30) = 49.7 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 147000/(800·49.7) = 3.698 m²

答え

A = 3.698 m²

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