伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
木材, k = 0.1750 mmれんが, k = 0.7250 mm18 °C7 °CTi​ = ?Q̇

壁は木材 50 mm とれんが 50 mm からなり、面積は 12 m² である。外側の両面は 18 °C と 7 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 18 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96200 mm石こうボード, k = 0.1750 mm室内 20 °C屋外 3 °CTs​ = ?Q̇

200 mm のガラスと 50 mm の石こうボードからなる壁が、20 °C の部屋と 3 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 12 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 3 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT90 °C40 °C15 °C35 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 260 kW を伝える。 高温流体は 90 から 40 °C まで冷え、低温流体は 15 から 35 °C まで温まる。熱通過率は 1500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 260 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 90 → 40 °CTc: 15 → 35 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT165 °C95 °C65.82 °C10 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（2 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 165 から 95 °C まで冷える。油は 10 °C で流入する水 1.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 1500 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 165 → 95 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 9.101 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.17·12) = 0.02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.72·12) = 0.005787 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0.0303 = 363.1 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 363.1·0.02451 = 9.101 °C

答え

Ti = 9.101 °C
2.熱伝導

答え: Ts = 17.33 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0.008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.96·12) = 0.01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·12) = 0.02451 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0.002778 K/W
ΣR = 0.05298 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (3))/0.05298 = 320.9 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 320.9·0.008333 = 17.33 °C

答え

Ts = 17.33 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 6.706 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 90 − 15 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 40 − 35 = 5 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 5)/ln(75/5) = 25.85 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 260000/(1500·25.85) = 6.706 m²

答え

A = 6.706 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 2.539 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2.5·70 = 350 kW
Tc,out = 10 + 350/(1.5·4.18) = 65.82 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 65.82 = 99.18 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 95 − 10 = 85 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (99.18 − 85)/ln(99.18/85) = 91.91 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 350000/(1500·91.91) = 2.539 m²

答え

A = 2.539 m²

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