伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
コンクリート, k = 1.4250 mmれんが, k = 0.7250 mm20 °C10 °CQ̇ = ?

壁はコンクリート 250 mm とれんが 50 mm からなり、面積は 10 m² である。外側の両面は 20 °C と 10 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 20 °CT3 = 10 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
ロックウール, k = 0.04200 mmコンクリート, k = 1.4100 mm室内 20 °C屋外 -12 °CTs​ = ?Q̇

200 mm のロックウールと 100 mm のコンクリートからなる壁が、20 °C の部屋と -12 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 15 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -12 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT85 °C50 °C75 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 440 kW を伝える。 高温流体は 85 から 50 °C まで冷え、低温流体は 30 から 75 °C まで温まる。熱通過率は 800 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 440 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 85 → 50 °CTc: 30 → 75 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT90 °C55 °C30.86 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 90 から 55 °C まで冷える。油は 25 °C で流入する水 3 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 1500 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 90 → 55 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 403.2 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1.4·10) = 0.01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.72·10) = 0.006944 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0.0248 = 403.2 W

答え

Q̇ = 403.2 W
2.熱伝導

答え: Ts = 19.24 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0.008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.04·15) = 0.3333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1.4·15) = 0.004762 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0.003333 K/W
ΣR = 0.3498 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (-12))/0.3498 = 91.49 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 91.49·0.008333 = 19.24 °C

答え

Ts = 19.24 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 38.12 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 75 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 30 = 20 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 20)/ln(10/20) = 14.43 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 440000/(800·14.43) = 38.12 m²

答え

A = 38.12 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 1.141 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2.1·35 = 73.5 kW
Tc,out = 25 + 73.5/(3·4.18) = 30.86 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 30.86 = 59.14 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (59.14 − 30)/ln(59.14/30) = 42.93 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 73500/(1500·42.93) = 1.141 m²

答え

A = 1.141 m²

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