熱伝導
- フーリエの法則
- Q̇ = kAΔT/L
- 熱伝導抵抗
- R = L/(kA)
- 対流熱抵抗
- R = 1/(hA)
- 直列の熱抵抗
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U 値
- U = 1/(ΣR·A)
伝熱工学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
熱交換器 (LMTD)
- 交換熱量
- Q = U·A·ΔTlm
- 対数平均温度差
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- 流体ごとの熱収支
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2演習問題
1.熱伝導ふつう
壁はガラス 150 mm と石こうボード 150 mm からなり、面積は 12 m² である。外側の両面は 15 °C と 0 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。
L1 = 150 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 15 °CT3 = 0 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
50 mm の石こうボードと 150 mm のコンクリートからなる壁が、20 °C の部屋と -13 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 4 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。
L1 = 50 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -13 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
向流熱交換器が 450 kW を伝える。 高温流体は 100 から 40 °C まで冷え、低温流体は 20 から 45 °C まで温まる。熱通過率は 500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。
Q̇ = 450 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 100 → 40 °CTc: 20 → 45 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
高温の油（0.5 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 125 から 55 °C まで冷える。油は 20 °C で流入する水 1 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 300 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。
ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 125 → 55 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3溶液
1.熱伝導
答え: Q̇ = 173.3 W
熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。
各層の熱抵抗
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.96·12) = 0.01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.17·12) = 0.07353 K/W
熱流量
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0.08655 = 173.3 W
答え
Q̇ = 173.3 W
2.熱伝導
答え: U = 1.645 W/(m²·K)
熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。
直列の熱抵抗
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0.04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.17·4) = 0.07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1.4·4) = 0.02679 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0.01 K/W
ΣR = 0.152 K/W
熱通過率
U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0.152) = 1.645 W/(m²·K)
答え
U = 1.645 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)
答え: A = 26.01 m²
LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。
両端の温度差
向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 45 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 20 = 20 K
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 20)/ln(55/20) = 34.6 K
面積
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 450000/(500·34.6) = 26.01 m²
答え
A = 26.01 m²
4.熱交換器 (LMTD)
答え: A = 4.278 m²
LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。
熱負荷と水の出口温度
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0.5·2.1·70 = 73.5 kW
Tc,out = 20 + 73.5/(1·4.18) = 37.58 °C
両端の温度差
向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 37.58 = 87.42 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (87.42 − 35)/ln(87.42/35) = 57.26 K
面積
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 73500/(300·57.26) = 4.278 m²
答え
A = 4.278 m²
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