伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
発泡ポリスチレン, k = 0.035200 mm石こうボード, k = 0.1750 mm15 °C8 °CTi​ = ?Q̇

壁は発泡ポリスチレン 200 mm と石こうボード 50 mm からなり、面積は 12 m² である。外側の両面は 15 °C と 8 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 15 °CT3 = 8 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ロックウール, k = 0.04200 mm石こうボード, k = 0.17100 mm室内 20 °C屋外 -12 °CQ̇

200 mm のロックウールと 100 mm の石こうボードからなる壁が、20 °C の部屋と -12 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 6 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -12 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT140 °C25 °C55 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 140 °C で凝縮する。冷却水（3 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、25 から 55 °C まで温まる。熱通過率は 1500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 140 °Cṁ = 3 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 55 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT100 °C65 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂並流

並流二重管式熱交換器で、高温の油（0.5 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、100 から 65 °C まで冷える。 環状部の水（1 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 20 °C で流入する。内管の直径は 25 mm で、U = 300 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 100 → 65 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 20 °CD = 25 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 8.343 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.035·12) = 0.4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·12) = 0.02451 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 7/0.5007 = 13.98 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 13.98·0.4762 = 8.343 °C

答え

Ti = 8.343 °C
2.熱伝導

答え: U = 0.1723 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0.02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.04·6) = 0.8333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.17·6) = 0.09804 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0.008333 K/W
ΣR = 0.9675 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0.9675) = 0.1723 W/(m²·K)

答え

U = 0.1723 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 2.527 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 3·4.18·(55 − 25) = 376.2 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 140 − 25 = 115 K
ΔT₂ = 140 − 55 = 85 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 85)/ln(115/85) = 99.25 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 376200/(1500·99.25) = 2.527 m²

答え

A = 2.527 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 31.24 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.5·2.3·(100 − 65) = 40.25 kW
Tc,out = 20 + 40.25/(1·4.18) = 29.63 °C

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 100 − 20 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 29.63 = 35.37 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 35.37)/ln(80/35.37) = 54.68 K

面積と長さ

A = 40250/(300·54.68) = 2.454 m²
L = A/(πD) = 2.454/(π·0.025) = 31.24 m

答え

L = 31.24 m

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