伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
木材, k = 0.17200 mm石こうボード, k = 0.1775 mm24 °C-6 °CQ̇ = ?

壁は木材 200 mm と石こうボード 75 mm からなり、面積は 12 m² である。外側の両面は 24 °C と -6 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 24 °CT3 = -6 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96100 mmロックウール, k = 0.0450 mm室内 20 °C屋外 0 °CQ̇

100 mm のガラスと 50 mm のロックウールからなる壁が、20 °C の部屋と 0 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 20 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 0 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT120 °C15 °C90 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 120 °C で凝縮する。冷却水（0.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、15 から 90 °C まで温まる。熱通過率は 3500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 120 °Cṁ = 0.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 90 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT120 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

伝熱面積 1 m²、U = 1000 W/(m²·K) の復水器の管の外側で、蒸気が一定の 120 °C で凝縮する。冷却水（0.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 20 °C で管に流入する。水の出口温度 Tc,out を求めよ。

Ts = 120 °CA = 1 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 0.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 222.5 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.17·12) = 0.09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.17·12) = 0.03676 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0.1348 = 222.5 W

答え

Q̇ = 222.5 W
2.熱伝導

答え: U = 0.6519 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·20) = 0.006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.96·20) = 0.005208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.04·20) = 0.0625 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0.0025 K/W
ΣR = 0.0767 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0.0767) = 0.6519 W/(m²·K)

答え

U = 0.6519 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 0.7481 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 0.5·4.18·(90 − 15) = 156.8 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 120 − 15 = 105 K
ΔT₂ = 120 − 90 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 30)/ln(105/30) = 59.87 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 156750/(3500·59.87) = 0.7481 m²

答え

A = 0.7481 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Tc,out = 58.03 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

エネルギー収支と伝熱速度の式を組み合わせる

ΔT₁ = Ts − Tc,in、ΔT₂ = Ts − Tc,out とすると、差 ΔT₁ − ΔT₂ は水の温度上昇に等しいので、温度上昇は消去されます。

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·1/(0.5·4180) = 0.4785

出口温度

ΔT₂ = ΔT₁·e−0.4785 = 100·0.6197 = 61.97 K
Tc,out = 120 − 61.97 = 58.03 °C

答え

Tc,out = 58.03 °C

伝熱量：Q̇ = 79.48 kW。

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