伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ロックウール, k = 0.0450 mmガラス, k = 0.96150 mm22 °C0 °CQ̇ = ?

壁はロックウール 50 mm とガラス 150 mm からなり、面積は 15 m² である。外側の両面は 22 °C と 0 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 22 °CT3 = 0 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
発泡ポリスチレン, k = 0.035200 mm木材, k = 0.1750 mm室内 20 °C屋外 -4 °CTs​ = ?Q̇

200 mm の発泡ポリスチレンと 50 mm の木材からなる壁が、20 °C の部屋と -4 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 4 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -4 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT110 °C70 °C20 °C35 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 110 kW を伝える。 高温流体は 110 から 70 °C まで冷え、低温流体は 20 から 35 °C まで温まる。熱通過率は 500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 110 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 110 → 70 °CTc: 20 → 35 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT135 °C70 °C26.92 °C15 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 135 から 70 °C まで冷える。油は 15 °C で流入する水 3 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 1000 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 135 → 70 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 234.7 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.04·15) = 0.08333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.96·15) = 0.01042 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0.09375 = 234.7 W

答え

Q̇ = 234.7 W
2.熱伝導

答え: Ts = 19.5 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·4) = 0.03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.035·4) = 1.429 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·4) = 0.07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0.0125 K/W
ΣR = 1.547 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (-4))/1.547 = 15.51 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 15.51·0.03247 = 19.5 °C

答え

Ts = 19.5 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 3.778 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 110 − 20 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 35 = 35 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 35)/ln(90/35) = 58.23 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 110000/(500·58.23) = 3.778 m²

答え

A = 3.778 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 1.903 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2.3·65 = 149.5 kW
Tc,out = 15 + 149.5/(3·4.18) = 26.92 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 26.92 = 108.1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 15 = 55 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (108.1 − 55)/ln(108.1/55) = 78.57 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 149500/(1000·78.57) = 1.903 m²

答え

A = 1.903 m²

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