静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 2.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 2.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
大きな開放水槽から、直径 30 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 3.5 m 上に保たれ、流量係数は 0.65 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。
d = 30 mmh = 3.5 mCd = 0.65g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水が、75 mm から 40 mm に細くなりながら 7 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 150 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 150 kPav1 = 0.75 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 50 m、内径 75 mm の管内を 10 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
Q = 10 L/sL = 50 mD = 75 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 20 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。
Q = 20 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
ポンプが揚程 68 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 40 L/s 送っている。ポンプ効率は 65%、これを駆動する電動機の効率は 88% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。
Q = 40 L/sH = 68 mηpump = 65%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 60 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 12 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 500 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 350 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 60 L/sΔz = 12 mL = 500 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 6ptank = 350 kPa
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
内径 600 mm のコンクリート製雨水管が、ちょうど満流で（圧力管ではなく開水路として）流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
D = 600 mmn = 0.013S = 0.005
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
底幅 1.5 m、側面勾配 3:1（水平:鉛直）の台形の芝で覆われた土の水路は、 水深 0.6 m の等流で 0.77 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.03。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 0.77 m³/sb = 1.5 my = 0.6 mz = 3n = 0.03
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 235.4 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·6 = 235.4 kN
答え
F = 235.4 kN
2.静水圧
答え: F = 231.8 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3.75·5 = 231.8 kN
答え
F = 231.8 kN
3.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 3.807 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
理想的な噴流速度
√(2gh) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s
実際の流量
流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.65·0.0007069·8.287 = 0.003807 m³/s = 3.807 L/s
答え
Q = 3.807 L/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 78.14 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(75/40)² = 2.637 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 2.637²)/1000 = −3.195 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 150 + (−3.195) − 68.67 = 78.14 kPa
答え
p2 = 78.14 kPa
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 3.83 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
平均流速
A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.01/0.004418 = 2.264 m/s
速度水頭
V²/(2g) = 2.264²/(2·9.81) = 0.2611 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(50/0.075)·2.264²/(2·9.81) = 3.83 m
答え
hf = 3.83 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: Δz = 11.27 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
損失係数
f·L/D = 0.022·100/0.1 = 22
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1
全損失水頭
hf = 22·0.3305 = 7.271 m
hm = 12.1·0.3305 = 3.999 m
Δz = hf + hm = 11.27 m
答え
Δz = 11.27 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pel = 46.65 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·68 = 26.68 kW
軸動力
Pshaft = 26.68/0.65 = 41.05 kW
電力
Pel = 41.05/0.88 = 46.65 kW
答え
Pel = 46.65 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 55.76 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37.5 + 6)·0.1859 = 8.087 m
圧力水頭
p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m
ポンプ揚程
どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 12 + 35.68 + 8.087 = 55.76 m
答え
H = 55.76 m
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 0.4342 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = 0.2827 m², R = D/4 = 0.15 m
速度
V = (1/0.013)·0.152/3·0.0051/2 = 1.536 m/s
流量
Q = A·V = 0.2827·1.536 = 0.4342 m³/s
答え
Q = 0.4342 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.0005052 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (1.5 + 3·0.6)·0.6 = 1.98 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·0.6·√(1 + 3²) = 5.295 m
R = A/P = 0.374 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.03·0.77/(1.98·0.5191) = 0.02248
S = 0.02248² = 0.0005052
答え
S = 0.0005052
これは 1 km あたり 0.5052 m の落差です。
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