静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 2 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、75 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 350 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 350 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 75 mm、ゲージ圧は 70 kPa である。ノズル出口の直径は 20 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。
d1 = 75 mmp1 = 70 kPa (ゲージ圧)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 100 m、内径 50 mm の管内を平均流速 1.7 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
V = 1.7 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
長さ 150 m、内径 250 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 120 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。
Q = 120 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
試験で、ポンプが揚程 60 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 80 L/s 送り、そのとき軸動力は 67.3 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。
Q = 80 L/sH = 60 mPshaft = 67.3 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 40 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 21 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 40 L/sΔz = 21 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 6
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
内径 600 mm のコンクリート製雨水管が、ちょうど満流で（圧力管ではなく開水路として）流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
D = 600 mmn = 0.013S = 0.002
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
幅 4 m の長方形のれんが積みの水路は、 水深 1.2 m の等流で 12 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.015。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 12 m³/sb = 4 my = 1.2 mn = 0.015
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 132.4 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN
答え
F = 132.4 kN
2.静水圧
答え: F = 79.71 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·2.5 = 79.71 kN
答え
F = 79.71 kN
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 344.3 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(75/40)² = 3.516 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 3.516²)/1000 = −5.68 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 350 + (−5.68) = 344.3 kPa
答え
p2 = 344.3 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: H = 7.172 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
出口流速
β = 20/75 = 0.2667
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·70000/(1000·0.9949)) = 11.86 m/s
噴流の高さ
噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。
H = v2²/(2g) = 11.86²/(2·9.81) = 7.172 m
答え
H = 7.172 m
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 5.892 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度水頭
V²/(2g) = 1.7²/(2·9.81) = 0.1473 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(100/0.05)·1.7²/(2·9.81) = 5.892 m
答え
hf = 5.892 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: H = 6.518 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m
損失係数
f·L/D = 0.015·150/0.25 = 9
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 = 11.4
エネルギー式
出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。
H = (1 + 9 + 11.4)·0.3046 = 6.518 m
答え
H = 6.518 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: η = 69.97 %
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·60 = 47.09 kW
効率
η = Ph/Pshaft = 47.09/67.3 = 69.97%
答え
η = 69.97%
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 30.23 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (29.33 + 6)·0.2611 = 9.227 m
ポンプ揚程
どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。
H = Δz + hL = 21 + 9.227 = 30.23 m
答え
H = 30.23 m
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 0.2746 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = 0.2827 m², R = D/4 = 0.15 m
速度
V = (1/0.013)·0.152/3·0.0021/2 = 0.9712 m/s
流量
Q = A·V = 0.2827·0.9712 = 0.2746 m³/s
答え
Q = 0.2746 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.002064 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = b·y = 4·1.2 = 4.8 m²
P = b + 2y = 4 + 2·1.2 = 6.4 m
R = A/P = 0.75 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.015·12/(4.8·0.8255) = 0.04543
S = 0.04543² = 0.002064
答え
S = 0.002064
これは 1 km あたり 2.064 m の落差です。
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