静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 0.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 0.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
水道管内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 18 kPa を示す。先端での水の流速 v を求めよ。
p0 − p = 18 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水平なベンチュリ管（入口 100 mm、のど部 60 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 340 mm である。流量係数は 0.95 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。
d1 = 100 mmd2 = 60 mmΔh = 340 mmCd = 0.95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 1000 m、内径 100 mm の管内を 15 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
Q = 15 L/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
長さ 150 m、内径 150 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 60 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。
Q = 60 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
試験で、ポンプが揚程 50 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 60 L/s 送り、そのとき軸動力は 35.9 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。
Q = 60 L/sH = 50 mPshaft = 35.9 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 30 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 7 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 400 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 200 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 30 L/sΔz = 7 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8ptank = 200 kPa
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
台形の仕上げのないコンクリートの水路の底幅は 3.5 m、側面勾配は 1:1（水平:鉛直）である。水は水深 0.5 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.014、水路床勾配は S = 0.005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 3.5 my = 0.5 mz = 1n = 0.014S = 0.005
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
内径 200 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.9 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。
D = 200 mmn = 0.013V = 0.9 m/s
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 88.29 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·4.5 = 88.29 kN
答え
F = 88.29 kN
2.静水圧
答え: F = 69.53 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1.25·4.5 = 69.53 kN
答え
F = 69.53 kN
3.連続の式とベルヌーイ
答え: v = 6 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
よどみ点へのベルヌーイの式
流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·18000/1000) = 6 m/s
答え
v = 6 m/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 26.4 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
マノメータによる圧力差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.34 = 42026 Pa
のど部の流速
連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。
β = 60/100 = 0.6
v2 = √(2·42026/(1000·(1 − 0.1296))) = 9.827 m/s
実際の流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.95·0.002827·9.827 = 0.0264 m³/s = 26.4 L/s
答え
Q = 26.4 L/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 33.46 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
平均流速
A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²
V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s
速度水頭
V²/(2g) = 1.91²/(2·9.81) = 0.1859 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(1000/0.1)·1.91²/(2·9.81) = 33.46 m
答え
hf = 33.46 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: H = 16.1 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.06/0.01767 = 3.395 m/s
V²/(2g) = 0.5876 m
損失係数
f·L/D = 0.02·150/0.15 = 20
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4
エネルギー式
出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。
H = (1 + 20 + 6.4)·0.5876 = 16.1 m
答え
H = 16.1 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: η = 81.98 %
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·50 = 29.43 kW
効率
η = Ph/Pshaft = 29.43/35.9 = 81.98%
答え
η = 81.98%
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 34.44 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s
V²/(2g) = 0.1469 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0.1469 = 7.051 m
圧力水頭
p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m
ポンプ揚程
どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 20.39 + 7.051 = 34.44 m
答え
H = 34.44 m
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 5.548 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1·0.5)·0.5 = 2 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·0.5·√(1 + 1²) = 4.914 m
R = A/P = 0.407 m
速度
V = (1/0.014)·0.4072/3·0.0051/2 = 2.774 m/s
流量
Q = A·V = 2·2.774 = 5.548 m³/s
答え
Q = 5.548 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.007432 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
径深
R = D/4 = 0.2/4 = 0.05 m
マニングの式を S について解く
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.9/0.1357)² = 0.007432
答え
S = 0.007432
これは 1 km あたり 7.432 m の落差です。
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