水理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2演習問題

1.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.連続の式とベルヌーイふつう

入口径 250 mm、のど部径 125 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 18 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmp₁ − p₂ = 18 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 200 kPa の圧縮空気がある。水面より 4 m 下にある直径 25 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ流量 Q。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 200 kPa (ゲージ圧)h = 4 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 300 m、内径 250 mm の管内を 60 L/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

Q = 60 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 200 m、内径 200 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 100 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 100 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10

H = m

7.ポンプとポンプ動力ふつう

試験で、ポンプが揚程 60 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 10 L/s 送り、そのとき軸動力は 9.1 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 10 L/sH = 60 mP_shaft = 9.1 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 10 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 8

H = m

9.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形の砂利の水路の幅は 2 m である。水は水深 1.2 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.025、水路床勾配は S = 0.003 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 2 my = 1.2 mn = 0.025S = 0.003

Q = m³/s

10.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 4 m、側面勾配 1.5:1（水平:鉛直）の台形のきれいな土の水路は、水深 1.5 m の等流で 23 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.022。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 23 m³/sb = 4 my = 1.5 mz = 1.5n = 0.022

S = m/m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 137.3 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·4 = 137.3 kN

答え

F = 137.3 kN

2.静水圧

答え: y_cp = 4.083 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4·6 = 241.3 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 2/(4·6) = 4.083 m

答え

y_cp = 4.083 m

3.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 76.05 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v₁ = v₂·(125/250)² = 0.25·v₂

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·18000/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.197 m/s

v₁ = 1.549 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.01227·6.197 = 0.07605 m³/s = 76.05 L/s

答え

Q = 76.05 L/s

4.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 10.74 L/s

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(200000/1000 + 9.81·4)) = 21.87 m/s

流量

Q = A·v = 0.0004909·21.87 = 0.01074 m³/s = 10.74 L/s

答え

Q = 10.74 L/s

5.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 2.741 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²

V = Q/A = 0.06/0.04909 = 1.222 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 1.222²/(2·9.81) = 0.07615 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(300/0.25)·1.222²/(2·9.81) = 2.741 m

答え

h_f = 2.741 m

6.管摩擦と損失水頭

答え: H = 19.31 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.03142 = 3.183 m/s

V²/(2g) = 0.5164 m

損失係数

f·L/D = 0.025·200/0.2 = 25

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 = 11.4

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 25 + 11.4)·0.5164 = 19.31 m

答え

H = 19.31 m

7.ポンプとポンプ動力

答え: η = 64.68 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·60 = 5.886 kW

効率

η = P_h/P_shaft = 5.886/9.1 = 64.68%

答え

η = 64.68%

8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 19.25 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14.67 + 8)·0.408 = 9.249 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + h_L = 10 + 9.249 = 19.25 m

答え

H = 19.25 m

9.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 3.51 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 2·1.2 = 2.4 m²

P = b + 2y = 2 + 2·1.2 = 4.4 m

R = A/P = 0.5455 m

速度

V = (1/0.025)·0.5455^2/3·0.003^1/2 = 1.463 m/s

流量

Q = A·V = 2.4·1.463 = 3.51 m³/s

答え

Q = 3.51 m³/s

10.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.002927 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (4 + 1.5·1.5)·1.5 = 9.375 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1.5·√(1 + 1.5²) = 9.408 m

R = A/P = 0.9965 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·23/(9.375·0.9976) = 0.0541

S = 0.0541² = 0.002927

答え

S = 0.002927

これは 1 km あたり 2.927 m の落差です。

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