静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 0.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、75 mm から 25 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 260 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 260 kPav1 = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水平なベンチュリ管（入口 200 mm、のど部 150 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 310 mm である。流量係数は 0.95 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。
d1 = 200 mmd2 = 150 mmΔh = 310 mmCd = 0.95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 500 m、内径 250 mm の管内を平均流速 2.6 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
V = 2.6 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 0.2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 80 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。
Q = 80 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
効率 78% のポンプが揚程 46 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 60 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 60 L/sH = 46 mη = 78%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 120 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 16 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 4（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 120 L/sΔz = 16 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 4
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
台形の芝で覆われた土の水路の底幅は 6 m、側面勾配は 1:1（水平:鉛直）である。水は水深 2 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 6 my = 2 mz = 1n = 0.03S = 0.002
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
底幅 3 m、側面勾配 1.5:1（水平:鉛直）の台形のきれいな土の水路は、 水深 1.5 m の等流で 19 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.022。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 19 m³/sb = 3 my = 1.5 mz = 1.5n = 0.022
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 29.43 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·2 = 29.43 kN
答え
F = 29.43 kN
2.静水圧
答え: ycp = 2.8 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·3 = 73.58 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.5 + 2.25/(2.5·3) = 2.8 m
答え
ycp = 2.8 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 170 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(75/25)² = 13.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 13.5²)/1000 = −90 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 260 + (−90) = 170 kPa
答え
p2 = 170 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 177.8 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
マノメータによる圧力差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.31 = 38318 Pa
のど部の流速
連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。
β = 150/200 = 0.75
v2 = √(2·38318/(1000·(1 − 0.3164))) = 10.59 m/s
実際の流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.95·0.01767·10.59 = 0.1778 m³/s = 177.8 L/s
答え
Q = 177.8 L/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 17.23 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度水頭
V²/(2g) = 2.6²/(2·9.81) = 0.3445 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(500/0.25)·2.6²/(2·9.81) = 17.23 m
答え
hf = 17.23 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: Δz = 4.892 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
損失係数
f·L/D = 0.025·100/0.2 = 12.5
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.3
全損失水頭
hf = 12.5·0.3305 = 4.131 m
hm = 2.3·0.3305 = 0.7602 m
Δz = hf + hm = 4.892 m
答え
Δz = 4.892 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 34.71 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·46 = 27.08 kW
軸動力
Pshaft = Ph/η = 27.08/0.78 = 34.71 kW
答え
Pshaft = 34.71 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 20.87 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 4)·0.3046 = 4.874 m
ポンプ揚程
どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。
H = Δz + hL = 16 + 4.874 = 20.87 m
答え
H = 20.87 m
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 29.46 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (6 + 1·2)·2 = 16 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2·√(1 + 1²) = 11.66 m
R = A/P = 1.373 m
速度
V = (1/0.03)·1.3732/3·0.0021/2 = 1.841 m/s
流量
Q = A·V = 16·1.841 = 29.46 m³/s
答え
Q = 29.46 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.003075 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (3 + 1.5·1.5)·1.5 = 7.875 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1.5·√(1 + 1.5²) = 8.408 m
R = A/P = 0.9366 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.022·19/(7.875·0.9573) = 0.05545
S = 0.05545² = 0.003075
答え
S = 0.003075
これは 1 km あたり 3.075 m の落差です。
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