静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 2.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
風洞内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 1150 Pa を示す。空気の密度は 1.2 kg/m³ である。風速 v を求めよ。
p0 − p = 1150 Paρ = 1.2 kg/m³
v = m/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 90 kPa の圧縮空気がある。水面より 1 m 下にある直径 25 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ 噴流速度 v。 g = 9.81 m/s² とする。
pair = 90 kPa (ゲージ圧)h = 1 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 100 m、内径 150 mm の管内を 60 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
Q = 60 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 300 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 200 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。
Q = 200 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
効率 60% のポンプが揚程 22 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 15 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 15 L/sH = 22 mη = 60%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 20 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 23 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 80% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 20 L/sΔz = 23 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.02ΣK = 6η = 80%
Pshaft = kW
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
長方形の芝で覆われた土の水路の幅は 5.5 m である。水は水深 0.6 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.004 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 5.5 my = 0.6 mn = 0.03S = 0.004
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
底幅 3.5 m、側面勾配 1.5:1（水平:鉛直）の台形の砂利の水路は、 水深 2.2 m の等流で 45 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 45 m³/sb = 3.5 my = 2.2 mz = 1.5n = 0.025
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 67.44 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·2.5 = 67.44 kN
答え
F = 67.44 kN
2.静水圧
答え: F = 140.8 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3.5·4 = 140.8 kN
答え
F = 140.8 kN
3.連続の式とベルヌーイ
答え: v = 43.78 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
よどみ点へのベルヌーイの式
流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·1150/1.2) = 43.78 m/s
答え
v = 43.78 m/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: v = 14.13 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
水面から噴流へのベルヌーイの式
v = √(2·(90000/1000 + 9.81·1)) = 14.13 m/s
答え
v = 14.13 m/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 11.75 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
平均流速
A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²
V = Q/A = 0.06/0.01767 = 3.395 m/s
速度水頭
V²/(2g) = 3.395²/(2·9.81) = 0.5876 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(100/0.15)·3.395²/(2·9.81) = 11.75 m
答え
hf = 11.75 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: Δz = 7.916 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
損失係数
f·L/D = 0.015·300/0.3 = 15
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4
全損失水頭
hf = 15·0.408 = 6.121 m
hm = 4.4·0.408 = 1.795 m
Δz = hf + hm = 7.916 m
答え
Δz = 7.916 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 5.396 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·22 = 3.237 kW
軸動力
Pshaft = Ph/η = 3.237/0.6 = 5.396 kW
答え
Pshaft = 5.396 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 7.748 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 6)·0.3305 = 8.593 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 23 + 8.593 = 31.59 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·31.59/0.8 = 7.748 kW
答え
Pshaft = 7.748 kW
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 4.339 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = b·y = 5.5·0.6 = 3.3 m²
P = b + 2y = 5.5 + 2·0.6 = 6.7 m
R = A/P = 0.4925 m
速度
V = (1/0.03)·0.49252/3·0.0041/2 = 1.315 m/s
流量
Q = A·V = 3.3·1.315 = 4.339 m³/s
答え
Q = 4.339 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.003951 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1.5·2.2)·2.2 = 14.96 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·2.2·√(1 + 1.5²) = 11.43 m
R = A/P = 1.309 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·45/(14.96·1.196) = 0.06286
S = 0.06286² = 0.003951
答え
S = 0.003951
これは 1 km あたり 3.951 m の落差です。
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