静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 0.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が 26 L/s で、100 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 150 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p1 を求めよ。
Q = 26 L/sd1 = 100 mmd2 = 75 mmp2 = 150 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水平なベンチュリ管（入口 150 mm、のど部 100 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 160 mm である。流量係数は 0.98 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。
d1 = 150 mmd2 = 100 mmΔh = 160 mmCd = 0.98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 150 m、内径 250 mm の水平管内を 1.6 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。
V = 1.6 m/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 17 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。
Δz = 17 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
ポンプが揚程 50 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 40 L/s 送っている。ポンプ効率は 70%、これを駆動する電動機の効率は 94% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。
Q = 40 L/sH = 50 mηpump = 70%ηmotor = 94%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 12 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 8 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 500 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 100 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 12 L/sΔz = 8 mL = 500 mD = 100 mmf = 0.015ΣK = 8ptank = 100 kPa
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
台形の仕上げのないコンクリートの水路の底幅は 1 m、側面勾配は 2:1（水平:鉛直）である。水は水深 0.9 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.014、水路床勾配は S = 0.004 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 1 my = 0.9 mz = 2n = 0.014S = 0.004
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
内径 300 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.6 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。
D = 300 mmn = 0.013V = 0.6 m/s
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 323.7 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5.5·6 = 323.7 kN
答え
F = 323.7 kN
2.静水圧
答え: ycp = 2.375 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·2·4.5 = 77.7 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 3.375/(2·4.5) = 2.375 m
答え
ycp = 2.375 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p1 = 161.8 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
流速
v1 = Q/A1 = 0.026/0.007854 = 3.31 m/s
v2 = Q/A2 = 0.026/0.004418 = 5.885 m/s
ベルヌーイの定理
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 150 + ½·1000·(5.885² − 3.31²)/1000 = 150 + 11.84 = 161.8 kPa
答え
p1 = 161.8 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 54.04 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
マノメータによる圧力差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.16 = 19777 Pa
のど部の流速
連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。
β = 100/150 = 0.6667
v2 = √(2·19777/(1000·(1 − 0.1975))) = 7.021 m/s
実際の流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.98·0.007854·7.021 = 0.05404 m³/s = 54.04 L/s
答え
Q = 54.04 L/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: Δp = 19.2 kPa
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失水頭
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(150/0.25)·1.6²/(2·9.81) = 1.957 m
圧力損失
管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·1.957 = 19200 Pa = 19.2 kPa
答え
Δp = 19.2 kPa
6.管摩擦と損失水頭
答え: Q = 67.74 L/s
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失係数
f·L/D = 0.015·100/0.15 = 10
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7
エネルギー式
どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。
17 = (10 + 12.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·17/22.7) = 3.833 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 3.833·0.01767 = 0.06774 m³/s = 67.74 L/s
答え
Q = 67.74 L/s
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pel = 29.82 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·50 = 19.62 kW
軸動力
Pshaft = 19.62/0.7 = 28.03 kW
電力
Pel = 28.03/0.94 = 29.82 kW
答え
Pel = 29.82 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 28.07 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s
V²/(2g) = 0.119 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (75 + 8)·0.119 = 9.876 m
圧力水頭
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m
ポンプ揚程
どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 8 + 10.19 + 9.876 = 28.07 m
答え
H = 28.07 m
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 7.186 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (1 + 2·0.9)·0.9 = 2.52 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0.9·√(1 + 2²) = 5.025 m
R = A/P = 0.5015 m
速度
V = (1/0.014)·0.50152/3·0.0041/2 = 2.852 m/s
流量
Q = A·V = 2.52·2.852 = 7.186 m³/s
答え
Q = 7.186 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.001924 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
径深
R = D/4 = 0.3/4 = 0.075 m
マニングの式を S について解く
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.6/0.1778)² = 0.001924
答え
S = 0.001924
これは 1 km あたり 1.924 m の落差です。
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