水理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2演習問題

1.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 4 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.連続の式とベルヌーイふつう

水道管内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 6 kPa を示す。先端での水の流速 v を求めよ。

p₀ − p = 6 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 75 mm に細くなりながら 9 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 190 kPa、流速は 2 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 190 kPav₁ = 2 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 200 m、内径 50 mm の水平管内を 1.2 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.2 m/sL = 200 mD = 50 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 24 m 高い。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 24 mL = 150 mD = 300 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1.0

Q = L/s

7.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 16 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 150 L/s 送っている。ポンプ効率は 70%、これを駆動する電動機の効率は 95% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 150 L/sH = 16 mη_pump = 70%η_motor = 95%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 40 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 7 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 500 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 40 L/sΔz = 7 mL = 500 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8

H = m

9.開水路の流れ（マニング）ふつう

内径 900 mm のコンクリート製雨水管が、ちょうど満流で（圧力管ではなく開水路として）流れている。マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.001 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 900 mmn = 0.013S = 0.001

Q = m³/s

10.開水路の流れ（マニング）むずかしい

幅 4 m の長方形のきれいな土の水路は、水深 0.5 m の等流で 1.9 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.022。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 1.9 m³/sb = 4 my = 0.5 mn = 0.022

S = m/m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 85.84 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·5 = 85.84 kN

答え

F = 85.84 kN

2.静水圧

答え: y_cp = 5.349 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·5.25·3.75 = 170 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5.25 + 1.953/(5.25·3.75) = 5.349 m

答え

y_cp = 5.349 m

3.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 3.464 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·6000/1000) = 3.464 m/s

答え

v = 3.464 m/s

4.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 71.71 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(150/75)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 190 + (−30) − 88.29 = 71.71 kPa

答え

p₂ = 71.71 kPa

5.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 57.6 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(200/0.05)·1.2²/(2·9.81) = 5.872 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·5.872 = 57600 Pa = 57.6 kPa

答え

Δp = 57.6 kPa

6.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 414.4 L/s

損失係数

f·L/D = 0.018·150/0.3 = 9

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

24 = (9 + 4.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·24/13.7) = 5.863 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.863·0.07069 = 0.4144 m³/s = 414.4 L/s

答え

Q = 414.4 L/s

7.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 35.4 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·16 = 23.54 kW

軸動力

P_shaft = 23.54/0.7 = 33.63 kW

電力

P_el = 33.63/0.95 = 35.4 kW

答え

P_el = 35.4 kW

8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 22.15 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0.2611 = 15.15 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + h_L = 7 + 15.15 = 22.15 m

答え

H = 22.15 m

9.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 0.5725 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.6362 m², R = D/4 = 0.225 m

速度

V = (1/0.013)·0.225^2/3·0.001^1/2 = 0.8999 m/s

流量

Q = A·V = 0.6362·0.8999 = 0.5725 m³/s

答え

Q = 0.5725 m³/s

10.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.001482 m/m

断面の形状

A = b·y = 4·0.5 = 2 m²

P = b + 2y = 4 + 2·0.5 = 5 m

R = A/P = 0.4 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·1.9/(2·0.5429) = 0.0385

S = 0.0385² = 0.001482

答え

S = 0.001482

これは 1 km あたり 1.482 m の落差です。

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