水理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
径深
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形
A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）
R = D/4
必要な水路勾配
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 0.5 mH = 1.5 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 3 mH = 2 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
d1​ = 200 mmd2​ = 150 mm12p1​ − p2​ = 11 kPaQ = ?

入口径 200 mm、のど部径 150 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 11 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d1 = 200 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 11 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 150 mm, p1​ = 380 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 1 m

水が、150 mm から 75 mm に細くなりながら 1 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 380 kPa、流速は 2.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 380 kPav1 = 2.75 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 1.7 m/sD = 100 mmL = 100 mf = 0.03

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 100 m、内径 100 mm の水平管内を 1.7 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.7 m/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 10Δz = 33 mL = 200 m, D = 300 mm, f = 0.024× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 33 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 33 mL = 200 mD = 300 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 150 L/sH = 28 m

試験で、ポンプが揚程 28 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 150 L/s 送り、そのとき軸動力は 51.5 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 150 L/sH = 28 mPshaft = 51.5 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 80 L/sΔz = 7 mL = 400 m, D = 250 mm, f = 0.015, ΣK = 8

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 7 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 400 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 8
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
b = 2.5 my = 1.6 mn = 0.022, S = 0.0005

長方形のきれいな土の水路の幅は 2.5 m である。水は水深 1.6 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.022、水路床勾配は S = 0.0005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 2.5 my = 1.6 mn = 0.022S = 0.0005
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
b = 5.5 my = 0.7 m2 : 1n = 0.012, Q = 6.1 m³/s

底幅 5.5 m、側面勾配 2:1（水平:鉛直）の台形の仕上げたコンクリートの水路は、 水深 0.7 m の等流で 6.1 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.012。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 6.1 m³/sb = 5.5 my = 0.7 mz = 2n = 0.012
S = m/m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 27.59 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
ゲートd = 0.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.25·2.25 = 27.59 kN

答え

F = 27.59 kN
2.静水圧

答え: F = 117.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
ゲートd = 3 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·3 = 117.7 kN

答え

F = 117.7 kN
3.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 100.3 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v1 = v2·(150/200)² = 0.5625·v2

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·11000/(1000·(1 − 0.3164))) = 5.673 m/s
v1 = 3.191 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.01767·5.673 = 0.1003 m³/s = 100.3 L/s

答え

Q = 100.3 L/s
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 313.5 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(150/75)² = 11 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.75² − 11²)/1000 = −56.72 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 380 + (−56.72) − 9.81 = 313.5 kPa

答え

p2 = 313.5 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 43.35 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(100/0.1)·1.7²/(2·9.81) = 4.419 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·4.419 = 43350 Pa = 43.35 kPa

答え

Δp = 43.35 kPa
6.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 352.5 L/s

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失係数

f·L/D = 0.02·200/0.3 = 13.33
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

33 = (13.33 + 12.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·33/26.03) = 4.987 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 4.987·0.07069 = 0.3525 m³/s = 352.5 L/s

答え

Q = 352.5 L/s
7.ポンプとポンプ動力

答え: η = 80 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·28 = 41.2 kW

効率

η = Ph/Pshaft = 41.2/51.5 = 80%

答え

η = 80%
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 11.33 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s
V²/(2g) = 0.1354 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0.1354 = 4.332 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + hL = 7 + 4.332 = 11.33 m

答え

H = 11.33 m
9.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 3.211 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 2.5·1.6 = 4 m²
P = b + 2y = 2.5 + 2·1.6 = 5.7 m
R = A/P = 0.7018 m

速度

V = (1/0.022)·0.70182/3·0.00051/2 = 0.8026 m/s

流量

Q = A·V = 4·0.8026 = 3.211 m³/s

答え

Q = 3.211 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.000498 m/m

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (5.5 + 2·0.7)·0.7 = 4.83 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·0.7·√(1 + 2²) = 8.63 m
R = A/P = 0.5596 m

マニングの式を S について解く

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.012·6.1/(4.83·0.6791) = 0.02232
S = 0.02232² = 0.000498

答え

S = 0.000498

これは 1 km あたり 0.498 m の落差です。

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