静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
水理学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
開水路の流れ（マニング）
- マニングの式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 径深
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 長方形
- A = b·y, P = b + 2y
- 台形断面（側面勾配 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 円形管（満流または半満流）
- R = D/4
- 必要な水路勾配
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、75 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 260 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 260 kPav1 = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水平なベンチュリ管（入口 80 mm、のど部 40 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 270 mm である。流量係数は 0.95 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。
d1 = 80 mmd2 = 40 mmΔh = 270 mmCd = 0.95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 1000 m、内径 300 mm の管内を平均流速 2.9 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
V = 2.9 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
長さ 100 m、内径 100 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 8 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。
Q = 8 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
試験で、ポンプが揚程 80 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 30 L/s 送り、そのとき軸動力は 32.7 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。
Q = 30 L/sH = 80 mPshaft = 32.7 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 40 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 23 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 500 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 250 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 40 L/sΔz = 23 mL = 500 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m
9.開水路の流れ（マニング）ふつう
台形の芝で覆われた土の水路の底幅は 3.5 m、側面勾配は 3:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.1 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。
b = 3.5 my = 1.1 mz = 3n = 0.03S = 0.002
Q = m³/s
10.開水路の流れ（マニング）むずかしい
幅 4.5 m の長方形の砂利の水路は、 水深 2.3 m の等流で 10 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。
Q = 10 m³/sb = 4.5 my = 2.3 mn = 0.025
S = m/m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 24.52 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·1 = 24.52 kN
答え
F = 24.52 kN
2.静水圧
答え: ycp = 3.889 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3.75·2.5 = 94.27 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.75 + 1.302/(3.75·2.5) = 3.889 m
答え
ycp = 3.889 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 247.2 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(75/40)² = 5.273 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 5.273²)/1000 = −12.78 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 260 + (−12.78) = 247.2 kPa
答え
p2 = 247.2 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 10.07 L/s
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
マノメータによる圧力差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.27 = 33374 Pa
のど部の流速
連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。
β = 40/80 = 0.5
v2 = √(2·33374/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.438 m/s
実際の流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.95·0.001257·8.438 = 0.01007 m³/s = 10.07 L/s
答え
Q = 10.07 L/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 42.86 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度水頭
V²/(2g) = 2.9²/(2·9.81) = 0.4286 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(1000/0.3)·2.9²/(2·9.81) = 42.86 m
答え
hf = 42.86 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: H = 1.396 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.008/0.007854 = 1.019 m/s
V²/(2g) = 0.05288 m
損失係数
f·L/D = 0.022·100/0.1 = 22
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4
エネルギー式
出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。
H = (1 + 22 + 3.4)·0.05288 = 1.396 m
答え
H = 1.396 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: η = 72 %
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·80 = 23.54 kW
効率
η = Ph/Pshaft = 23.54/32.7 = 72%
答え
η = 72%
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 66.24 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0.2611 = 17.76 m
圧力水頭
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m
ポンプ揚程
どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 23 + 25.48 + 17.76 = 66.24 m
答え
H = 66.24 m
9.開水路の流れ（マニング）
答え: Q = 8.918 m³/s
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = (b + z·y)·y = (3.5 + 3·1.1)·1.1 = 7.48 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1.1·√(1 + 3²) = 10.46 m
R = A/P = 0.7153 m
速度
V = (1/0.03)·0.71532/3·0.0021/2 = 1.192 m/s
流量
Q = A·V = 7.48·1.192 = 8.918 m³/s
答え
Q = 8.918 m³/s
10.開水路の流れ（マニング）
答え: S = 0.0004914 m/m
マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。
断面の形状
A = b·y = 4.5·2.3 = 10.35 m²
P = b + 2y = 4.5 + 2·2.3 = 9.1 m
R = A/P = 1.137 m
マニングの式を S について解く
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·10/(10.35·1.09) = 0.02217
S = 0.02217² = 0.0004914
答え
S = 0.0004914
これは 1 km あたり 0.4914 m の落差です。
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