1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
6 年後に €5 000 が必要です。口座の利率は年 4.8%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €5 0004.8% / 4n = 6
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€30 000 のローンを、年 4.2%、月複利で 3 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €30 0004.2% / 12N = 36
I = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 7% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 7%n = 9
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €1 095 で取引され、最終利回りは 3%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 11.3 年です。利回りが 150 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €1 095y = 3%D = 11.3Δy = −150 bp
P = €
5.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €8 000 000 の普通株、価値 €1 000 000 の優先株、価値 €5 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 9%、優先株のコストは 7%、税引前負債コストは 5% です。税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000Ps = €1 000 000D = €5 000 000re = 9%rp = 7%rd = 5%T = 30%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €47.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 25% です。株式のベータは 1.8、無リスク金利は 2%、市場収益率は 6% です。WACC を求めなさい。
β = 1.8rf = 2%rm = 6%rd = 4%T = 25%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €100 000 です。8 年間、毎年末に €18 500 を生み、その後 €15 000 で売却できます。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €100 000CF = €18 500S = €15 000n = 8r = 6%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €7 500, €6 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 6 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 3755 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.048/4 = 0.012
N = 4·6 = 24
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1.331 = €3 755.24
2.貨幣の時間価値
答え: I = 1982 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0035, N = 36
A = 30 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)−36) = €888.39
利息の総額
I = N·A − P = 36·888.4 − 30 000 = €1 982.08
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1066 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €40.00, i = 0.035, N = 18
クーポンの現在価値
€40.00·(1 − 0.5384)/0.035 = €527.59
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: P = 1275 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −10.97·(−0.015) = 16.46%
P ≈ 1095·(1 + 0.1646) = €1 275.20
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.893 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 8 000 000 + 1 000 000 + 5 000 000 = €14 000 000
E/V = 0.5714, Ps/V = 0.07143, D/V = 0.3571
WACC
WACC = 0.5714·9% + 0.07143·7% + 0.3571·5%·(1 − 0.3) = 6.893%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.329 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€47.00 = €117 500 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
ウェイト
V = €136 700 000, E/V = 0.8595, D/V = 0.1405
WACC
WACC = 0.8595·9.2% + 0.1405·4%·(1 − 0.25) = 8.329%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 24292 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −100 000 + 114 881.19 + 9 411.19 = €24 292.37
8.NPV と IRR
答え: IRR = 23.56 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 416.67
NPV(25%) = −160.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·416.67/(416.67 − (−160.00)) = 23.61%
正確な値: NPV(23.56%) = 0 → IRR = 23.56%