1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4.8%、四半期複利で €12 000 を投資します。9 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0004.8% / 4n = 9
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
13 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 7.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €3007.2% / 12N = 156
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 7% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、10 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%YTM = 9%n = 10
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは 2.5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 3YTM = 2.5%
D = 年
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 1 です。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 4%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
D/E = 1re = 10%rd = 4%T = 20%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €39.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 7%、税率は 30% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 1%、市場収益率は 5.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 1%rm = 5.5%rd = 7%T = 30%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€60 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€19 000, €17 000, €19 000, €24 000。資本コストは 15% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 15%CF0 = −60 000CF1 = 19 000CF2 = 17 000CF3 = 19 000CF4 = 24 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €26 000, €29 000, €18 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 26 000CF2 = 29 000CF3 = 18 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 18437 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.048/4 = 0.012
N = m·n = 4·9 = 36
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.012)36 = 12 000·1.536 = €18 436.55
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 77132 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.07200000000000001/12 = 0.006
N = 12·13 = 156
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 300·(2.543 − 1)/0.006 = €77 132.03
自分で払い込んだのは €46 800。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 869.9 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €35.00, i = 0.045, N = 20
クーポンの現在価値
€35.00·(1 − 0.4146)/0.045 = €455.28
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: D = 2.889 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 40/1.025 = 39.02, t·PV = 39.02
t = 2: 40/1.051 = 38.07, t·PV = 76.15
t = 3: 1040/1.077 = 965.74, t·PV = 2 897.23
デュレーション
P = 1 042.84
D = 3 012.40/1 042.84 = 2.889
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.6 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 1) = 0.5
D/V = 1/(1 + 1) = 0.5
WACC
WACC = 0.5·10% + 0.5·4%·(1 − 0.2) = 6.6%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.513 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€39.00 = €97 500 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1% + 1.3·4.5% = 6.85%
ウェイト
V = €117 900 000, E/V = 0.827, D/V = 0.173
WACC
WACC = 0.827·6.85% + 0.173·7%·(1 − 0.3) = 6.513%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −4409 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 19 000/1.15 = 16 521.74
CF2/(1 + 0.15)2 = 17 000/1.322 = 12 854.44
CF3/(1 + 0.15)3 = 19 000/1.521 = 12 492.81
CF4/(1 + 0.15)4 = 24 000/1.749 = 13 722.08
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 40.22 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(40%) = 109.33
NPV(45%) = −2 207.55
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 40 + 5·109.33/(109.33 − (−2 207.55)) = 40.24%
正確な値: NPV(40.22%) = 0 → IRR = 40.22%