1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3%、月複利で €8 000 を投資します。8 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €8 0003% / 12n = 8
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€200 000 の住宅ローンを、年 4.8%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。3 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €200 0004.8% / 12N = 360k = 36
B = €
3.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 3.5% のときに、残存期間 8 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4.5%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 2.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 8y0 = 3.5%y1 = 2.5%
HPR = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 3 年後に満期を迎え、€945 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 3P = €945
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ベータ 1.5 の株式の要求収益率は 12.25% です。無リスク金利は 2.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 1.5re = 12.25%rf = 2.5%
rm = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1 です。負債資本比率を 0.5 にする計画です。税率は 30%、無リスク金利は 1%、市場リスクプレミアムは 7% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 1D/E = 0.5T = 30%rf = 1%rm − rf = 7%
re = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €30 000 です。5 年間、毎年末に €6 500 を生み、その後 €7 500 で売却できます。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €30 000CF = €6 500S = €7 500n = 5r = 10%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €31 000, €32 000, €34 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 31 000CF2 = 32 000CF3 = 34 500
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 10167 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.03/12 = 0.0025
N = m·n = 12·8 = 96
将来価値
FV = 8 000·(1 + 0.0025)96 = 8 000·1.271 = €10 166.95
2.貨幣の時間価値
答え: B = 190366 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.004, N = 360
A = 200 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)−360) = €1 049.33
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 360 − 36 = 324
B = 1049·(1 − (1 + 0.004)−324)/0.004 = €190 366.33
3.債券の価格と利回り
答え: HPR = 9.661 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €45.00, i = 0.035, N = 8
€45.00·(1 − 0.7594)/0.035 + €1 000·0.7594 = €309.33 + €759.41 = €1 068.74
売却価格
C = €45.00, i = 0.025, N = 7
€45.00·(1 − 0.8413)/0.025 + €1 000·0.8413 = €285.72 + €841.27 = €1 126.99
保有期間利回り
HPR = (45 + 1 126.99 − 1 068.74)/1 068.74 = 9.661%
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.02 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€945 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数値的に解く
P(5%) = €945.54, P(6%) = €919.81
YTM = 5.02%
5.CAPM と WACC
答え: rm = 9 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (12.25% − 2.5%)/1.5 = 6.5%
6.CAPM と WACC
答え: re = 10.45 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 1·(1 + 0.7·0.5) = 1.35
株主資本コスト（CAPM）
re = 1% + 1.35·7% = 10.45%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −703 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −30 000 + 24 640.11 + 4 656.91 = −€702.98
8.NPV と IRR
答え: IRR = 41.61 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(40%) = 1 042.27
NPV(45%) = −2 084.14
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 40 + 5·1 042.27/(1 042.27 − (−2 084.14)) = 41.67%
正確な値: NPV(41.61%) = 0 → IRR = 41.61%