投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

10 年後に €15 000 が必要です。口座の利率は年 4.8%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €15 0004.8% / 12n = 10

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

10 年間、毎年初めに €6 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 3% です。10 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。

A = €6 000i = 3%n = 10

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りが 3% から 3.5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 6y₁ = 3%y₂ = 3.5%

ΔP = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

ある債券が €1 050 で取引され、最終利回りは 5%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 8.6 年です。利回りが 100 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。

P₀ = €1 050y = 5%D = 8.6Δy = +100 bp

P = €

5.CAPM と WACCふつう

ベータ 1.4 の株式の要求収益率は 8.3% です。無リスク金利は 2% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 r_m はいくらですか？

β = 1.4r_e = 8.3%r_f = 2%

r_m = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株主資本の時価は €15 000 000、株主資本コストは 13% です。負債は 4 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4%、残存期間 5 年）からなり、1 枚 €1 023 で取引されています。税率は 30% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。

E = €15 000 000r_e = 13%債券: 4 000 × €1 023クーポンレート = 4%n = 5T = 30%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €40 000 で、5 年間、毎年末に €12 000 を生みます。資本コストは 10% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 10%CF₀ = −40 000CF₁ = 12 000CF₂ = 12 000CF₃ = 12 000CF₄ = 12 000CF₅ = 12 000

DPB = 年

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €12 000 で、5 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 2% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €50 000CF₁ = €12 000g = 2%n = 5r = 10%

NPV = €

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 9291 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·10 = 120

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.615 = €9 290.64

答え

PV = €9 290.64

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 70847 €

通常の年金係数

((1 + 0.03)¹⁰ − 1)/0.03 = 11.46

期首払い年金

各預け入れは 1 年長く運用されます。

FV = 6 000·11.46·1.03 = €70 846.77

答え

FV = €70 846.77

3.債券の価格と利回り

答え: ΔP = −27.97 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €45.00, i = 0.03, N = 6

€45.00·(1 − 0.8375)/0.03 + €1 000·0.8375 = €243.77 + €837.48 = €1 081.26

新しい利回りでの価格

C = €45.00, i = 0.035, N = 6

€45.00·(1 − 0.8135)/0.035 + €1 000·0.8135 = €239.78 + €813.50 = €1 053.29

変化

ΔP = 1 053.29 − 1 081.26 = −€27.97

答え

ΔP = −€27.97

4.債券の価格と利回り

答え: P = 964 €

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正デュレーション

D_mod = 8.6/1.05 = 8.19

推定価格変化

%ΔP ≈ −8.19·(0.01) = −8.19%

P ≈ 1050·(1 − 0.0819) = €964.00

答え

P = €964.00

デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。

5.CAPM と WACC

答え: r_m = 6.5 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

市場リスクプレミアム

r_m − r_f = (8.3% − 2%)/1.4 = 4.5%

市場収益率

r_m = 2% + 4.5% = 6.5%

答え

r_m = 6.5%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 10.74 %

負債コスト（YTM）

1023 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 3.491%

時価

D = 4 000·€1 023 = €4 092 000

V = €19 092 000, E/V = 0.7857, D/V = 0.2143

WACC

WACC = 0.7857·13% + 0.2143·3.491%·(1 − 0.3) = 10.74%

答え

WACC = 10.74%

7.NPV と IRR

答え: DPB = 4.263 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 12 000/1.1 = 10 909.09 → Σ = 10 909.09

年度 2: 12 000/1.21 = 9 917.36 → Σ = 20 826.45

年度 3: 12 000/1.331 = 9 015.78 → Σ = 29 842.22

年度 4: 12 000/1.464 = 8 196.16 → Σ = 38 038.39

年度 5: 12 000/1.611 = 7 451.06 → Σ = 45 489.44

最後の年の端数

DPB = 4 + 1 961.61/7 451.06 = 4.263

答え

DPB = 4.263 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.333 年）より長くなります。

8.NPV と IRR

答え: NPV = −2832 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

成長型年金の現在価値

((1.02)/(1.1))⁵ = 0.6855

PV = 12 000/(0.1 − 0.02)·(1 − 0.6855) = 47 167.90

NPV

NPV = 47 167.90 − 50 000 = −€2 832.10

答え

NPV = −€2 832.10

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

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