1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 5%、四半期複利で €12 000 を投資します。8 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0005% / 4n = 8
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
9 年間、毎月末に €150 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €1504.2% / 12N = 108
FV = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 5 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 5.5% のとき €957 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 5P = €957YTM = 5.5%
c = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 9 年後に満期を迎え、€870 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 9P = €870
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ベータ 0.9 の株式の要求収益率は 8.05% です。無リスク金利は 4% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 0.9re = 8.05%rf = 4%
rm = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €45.50 の株式 2 500 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 25% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 6% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 1.5%rm = 6%rd = 5%T = 25%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€75 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€34 000, €16 000, €36 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −75 000CF1 = 34 000CF2 = 16 000CF3 = 36 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €22 000, €19 500, €23 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 22 000CF2 = 19 500CF3 = 23 000
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 17858 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.05/4 = 0.0125
N = m·n = 4·8 = 32
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.0125)32 = 12 000·1.488 = €17 857.57
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 19646 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·9 = 108
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 150·(1.458 − 1)/0.0035 = €19 645.72
自分で払い込んだのは €16 200。残りは利息です。
3.債券の価格と利回り
答え: c = 4.493 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.055)−5 = €765.13
クーポン
C = (957 − 765.13)/4.27 = €44.93
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 6.995 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€870 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数値的に解く
P(6%) = €931.98, P(7%) = €869.70
YTM = 6.995%
5.CAPM と WACC
答え: rm = 8.5 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (8.05% − 4%)/0.9 = 4.5%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.655 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€45.50 = €113 750 000
D = 10 000·€960 = €9 600 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 1.2·4.5% = 6.9%
ウェイト
V = €123 350 000, E/V = 0.9222, D/V = 0.07783
WACC
WACC = 0.9222·6.9% + 0.07783·5%·(1 − 0.25) = 6.655%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 1542 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 34 000/1.06 = 32 075.47
CF2/(1 + 0.06)2 = 16 000/1.124 = 14 239.94
CF3/(1 + 0.06)3 = 36 000/1.191 = 30 226.29
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 28.1 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(25%) = 1 856.00
NPV(30%) = −1 069.64
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 25 + 5·1 856.00/(1 856.00 − (−1 069.64)) = 28.17%
正確な値: NPV(28.1%) = 0 → IRR = 28.1%