1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3%、四半期複利で €20 000 を投資します。4 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €20 0003% / 4n = 4
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
年 3.6%、月複利で €8 000 を借り、毎月末に €200 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €8 000A = €2003.6% / 12
N = 回
3.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 8% のときに、残存期間 9 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4.5%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 9.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 9y0 = 8%y1 = 9.5%
HPR = %
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 3 年後に満期を迎え、€1 030 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 3P = €1 030
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €6 000 000 の普通株、価値 €500 000 の優先株、価値 €2 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 11%、優先株のコストは 7.5%、税引前負債コストは 4% です。税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €6 000 000Ps = €500 000D = €2 000 000re = 11%rp = 7.5%rd = 4%T = 30%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €10 000 000、株主資本コストは 9% です。負債は 4 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4%、残存期間 5 年）からなり、1 枚 €1 070 で取引されています。税率は 30% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €10 000 000re = 9%債券: 4 000 × €1 070クーポンレート = 4%n = 5T = 30%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €30 000 です。8 年間、毎年末に €5 500 を生み、その後 €3 000 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €30 000CF = €5 500S = €3 000n = 8r = 8%
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €6 000, €4 000, €2 000 を生みます。プロジェクト B の費用は €15 000 で、€4 500, €5 500, €8 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。
A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 000B: −15 000, 4 500, 5 500, 8 000
r* = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 22540 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.03/4 = 0.0075
N = m·n = 4·4 = 16
将来価値
FV = 20 000·(1 + 0.0075)16 = 20 000·1.127 = €22 539.84
2.貨幣の時間価値
答え: N = 43 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.003
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0.003/200 = 0.88
対数を使って解く
N = −ln(0.88)/ln(1.003) = 42.68
返済回数を整数に切り上げる
42 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
3.債券の価格と利回り
答え: HPR = −1.028 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €45.00, i = 0.08, N = 9
€45.00·(1 − 0.5002)/0.08 + €1 000·0.5002 = €281.11 + €500.25 = €781.36
売却価格
C = €45.00, i = 0.095, N = 8
€45.00·(1 − 0.4838)/0.095 + €1 000·0.4838 = €244.50 + €483.82 = €728.33
保有期間利回り
HPR = (45 + 728.33 − 781.36)/781.36 = −1.028%
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 2.941 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 030 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数値的に解く
P(2%) = €1 057.68, P(3%) = €1 028.29
YTM = 2.941%
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.865 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 6 000 000 + 500 000 + 2 000 000 = €8 500 000
E/V = 0.7059, Ps/V = 0.05882, D/V = 0.2353
WACC
WACC = 0.7059·11% + 0.05882·7.5% + 0.2353·4%·(1 − 0.3) = 8.865%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.826 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1070 = 40·(1 − (1 + y)−5)/y + 1000/(1 + y)5
y = 2.494%
時価
D = 4 000·€1 070 = €4 280 000
V = €14 280 000, E/V = 0.7003, D/V = 0.2997
WACC
WACC = 0.7003·9% + 0.2997·2.494%·(1 − 0.3) = 6.826%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 3227 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −30 000 + 31 606.51 + 1 620.81 = €3 227.32
8.NPV と IRR
答え: r* = 5.727 %
交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。
キャッシュフローの差
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 500 − 6 000 = −1 500
ΔCF2 = 5 500 − 4 000 = 1 500
ΔCF3 = 8 000 − 2 000 = 6 000
差の IRR
NPVΔ(5%) = 115.00
NPVΔ(6%) = −42.38
r* = 5.727%
確認：5.727% では両方の NPV が €945.68 です。