1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €12 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1.5% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 7.5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €12 000g = 1.5%r = 7.5%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
年 4.2%、月複利で €25 000 を借り、毎月末に €400 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €25 000A = €4004.2% / 12
N = 回
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 9%n = 12
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 9 年後に満期を迎え、€900 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 9P = €900
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ベータ 0.9 の株式の要求収益率は 8.35% です。無リスク金利は 2.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 0.9re = 8.35%rf = 2.5%
rm = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 1 000 000 株で、€34.00 で取引されています。株主資本の簿価は €10 200 000 です。1 株あたり €1.30 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €20 400 000、税引前コストは 5% です。税率は 28% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 1 000 000P0 = €34.00株主資本の簿価 = €10 200 000D0 = €1.30g = 4%D = €20 400 000rd = 5%T = 28%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€19 000, €21 000, €21 000, €22 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 5%CF0 = −45 000CF1 = 19 000CF2 = 21 000CF3 = 21 000CF4 = 22 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €50 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €20 500, €27 000, €25 000, €19 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 12% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 12%CF0 = −50 000CF1 = 20 500CF2 = 27 000CF3 = 25 000CF4 = 19 000
MIRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 200000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 12 000/(0.075 − 0.015) = 12 000/0.06 = €200 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: N = 71 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.0035
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0.0035/400 = 0.7813
対数を使って解く
N = −ln(0.7813)/ln(1.004) = 70.65
返済回数を整数に切り上げる
70 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
3.債券の価格と利回り
答え: P = 673.9 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €22.50, i = 0.045, N = 24
クーポンの現在価値
€22.50·(1 − 0.3477)/0.045 = €326.15
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 6.503 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€900 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数値的に解く
P(6%) = €931.98, P(7%) = €869.70
YTM = 6.503%
5.CAPM と WACC
答え: rm = 9 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (8.35% − 2.5%)/0.9 = 6.5%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.335 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 1.3·1.04 = €1.35
re = 1.352/34 + 0.04 = 7.976%
時価
E = 1 000 000·€34.00 = €34 000 000
V = €54 400 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375
WACC
WACC = 0.625·7.976% + 0.375·5%·(1 − 0.28) = 6.335%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 28383 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 19 000/1.05 = 18 095.24
CF2/(1 + 0.05)2 = 21 000/1.103 = 19 047.62
CF3/(1 + 0.05)3 = 21 000/1.158 = 18 140.59
CF4/(1 + 0.05)4 = 22 000/1.216 = 18 099.45
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: MIRR = 21.7 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
20 500·1.123 = 28 801.02
27 000·1.122 = 33 868.80
25 000·1.121 = 28 000.00
19 000·1.120 = 19 000.00
TV = 109 669.82
MIRR
MIRR = (109 669.82/50 000)1/4 − 1 = 21.7%