投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 3%、四半期複利で €20 000 を投資します。6 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €20 0003% / 4n = 6

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€150 000 の住宅ローンを、年 7.2%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。10 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。

P = €150 0007.2% / 12N = 240k = 120

B = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 5% のクーポンを支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りが 7% から 6% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 5%n = 7y₁ = 7%y₂ = 6%

ΔP = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

残存期間 18 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 9%）が €1 094 で売られています。発行者は 3 年後に €1 090 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 9%P = €1 094繰上償還価格 = €1 090繰上償還まで 3 年

YTC = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 3%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。

E = €8 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.25 で 0.9 です。負債資本比率を 0.6 に引き上げる計画です。税率は 21%、無リスク金利は 1.5%、市場リスクプレミアムは 6% です。変更後の株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_L = 0.9D/E₁ = 0.25D/E₂ = 0.6T = 21%r_f = 1.5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €19 500, €21 500, €11 500, €17 500 を生みます。資本コストは 10% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 19 500CF₂ = 21 500CF₃ = 11 500CF₄ = 17 500

DPB = 年

8.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €5 500, €4 000, €2 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €15 000 で、€4 500, €6 000, €8 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −15 000, 4 500, 6 000, 8 000

r* = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 23928 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.03/4 = 0.0075

N = m·n = 4·6 = 24

将来価値

FV = 20 000·(1 + 0.0075)²⁴ = 20 000·1.196 = €23 928.27

答え

FV = €23 928.27

2.貨幣の時間価値

答え: B = 100820 €

毎月の返済額

i = 0.006, N = 240

A = 150 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻²⁴⁰) = €1 181.02

残りの支払いの現在価値

まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。

N − k = 240 − 120 = 120

B = 1181·(1 − (1 + 0.006)⁻¹²⁰)/0.006 = €100 819.96

答え

B = €100 819.96

3.債券の価格と利回り

答え: ΔP = 51.96 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €50.00, i = 0.07, N = 7

€50.00·(1 − 0.6227)/0.07 + €1 000·0.6227 = €269.46 + €622.75 = €892.21

新しい利回りでの価格

C = €50.00, i = 0.06, N = 7

€50.00·(1 − 0.6651)/0.06 + €1 000·0.6651 = €279.12 + €665.06 = €944.18

変化

ΔP = 944.18 − 892.21 = €51.96

答え

ΔP = €51.96

4.債券の価格と利回り

答え: YTC = 8.114 %

利回りの方程式

1094 = 90·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1090/(1 + y)³

数値的に解く

y = 8%: €1 097.22

y = 9%: €1 069.50

YTC = 8.114%

答え

YTC = 8.114%

最終利回りは 7.997% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.846 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €13 000 000, E/V = 0.6154, D/V = 0.3846

WACC

WACC = 0.6154·8% + 0.3846·3%·(1 − 0.2) = 5.846%

答え

WACC = 5.846%

6.CAPM と WACC

答え: r_e = 8.147 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

ベータをアンレバーする

β_U = 0.9/(1 + 0.79·0.25) = 0.7516

新しい D/E でリレバーする

β_L = 0.7516·(1 + 0.79·0.6) = 1.108

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.108·6% = 8.147%

答え

r_e = 8.147%

7.NPV と IRR

答え: DPB = 3.491 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 19 500/1.1 = 17 727.27 → Σ = 17 727.27

年度 2: 21 500/1.21 = 17 768.60 → Σ = 35 495.87

年度 3: 11 500/1.331 = 8 640.12 → Σ = 44 135.99

年度 4: 17 500/1.464 = 11 952.74 → Σ = 56 088.72

最後の年の端数

DPB = 3 + 5 864.01/11 952.74 = 3.491

答え

DPB = 3.491 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（2.783 年）より長くなります。

8.NPV と IRR

答え: r* = 9.093 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 500 − 5 500 = −1 000

ΔCF₂ = 6 000 − 4 000 = 2 000

ΔCF₃ = 8 000 − 2 500 = 5 500

差の IRR

NPV_Δ(9%) = 12.94

NPV_Δ(10%) = −123.97

r* = 9.093%

答え

r* = 9.093%

確認：9.093% では両方の NPV が €328.08 です。

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