投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

€2 000 を年 2%、連続複利で投資します。4 年後の価値 FV を求めなさい。

PV = €2 000r = 2%t = 4

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

年 5.4%、月複利で €10 000 を借り、毎月末に €325 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €10 000A = €3255.4% / 12

N = 回

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 13 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 6% のとき €1 089 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 13P = €1 089YTM = 6%

c = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 3 年後に満期を迎え、€1 040 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%n = 3P = €1 040

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 3%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。

E = €2 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €57.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 20% です。株式のベータは 0.6、無リスク金利は 2%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。

β = 0.6r_f = 2%r_m = 8.5%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€7 000, €7 000, €8 000, €10 000。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 000CF₂ = 7 000CF₃ = 8 000CF₄ = 10 000

NPV = €

8.NPV と IRRむずかしい

€80 000 の投資が 4 年間、毎年末に €25 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

C₀ = €80 000CF = €25 000n = 4

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 2167 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

指数

r·t = 0.02·4 = 0.08

e^0.08 = 1.083

将来価値

FV = 2 000·1.083 = €2 166.57

答え

FV = €2 166.57

2.貨幣の時間価値

答え: N = 34 回

年金の公式を変形する

i = 0.0045

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0.0045/325 = 0.8615

対数を使って解く

N = −ln(0.8615)/ln(1.004) = 33.19

返済回数を整数に切り上げる

33 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 34

答え

N = 34 回

3.債券の価格と利回り

答え: c = 7.005 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.06)⁻¹³ = €468.84

クーポン

C = (1089 − 468.84)/8.853 = €70.05

クーポン・レート

c = 70.05/1000 = 7.005%

答え

c = 7.005%

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 3.57 %

利回りの方程式

€1 040 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数値的に解く

P(3%) = €1 056.57, P(4%) = €1 027.75

YTM = 3.57%

答え

YTM = 3.57%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 4.17 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €8 000 000, E/V = 0.25, D/V = 0.75

WACC

WACC = 0.25·10% + 0.75·3%·(1 − 0.258) = 4.17%

答え

WACC = 4.17%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.209 %

時価

E = 2 000 000·€57.00 = €114 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2% + 0.6·6.5% = 5.9%

ウェイト

V = €153 200 000, E/V = 0.7441, D/V = 0.2559

WACC

WACC = 0.7441·5.9% + 0.2559·4%·(1 − 0.2) = 5.209%

答え

WACC = 5.209%

7.NPV と IRR

答え: NPV = −4425 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 7 000/1.09 = 6 422.02

CF₂/(1 + 0.09)² = 7 000/1.188 = 5 891.76

CF₃/(1 + 0.09)³ = 8 000/1.295 = 6 177.47

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 10 000/1.412 = 7 084.25

合計する

NPV = €−4 424.50

答え

NPV = €−4 424.50

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 9.564 %

必要な年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 80 000/25 000 = 3.2

利率について解く

利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。

i = 9%: 3.24

i = 10%: 3.17

IRR = 9.564%

答え

IRR = 9.564%

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