1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€1 000 を年 7%、連続複利で投資します。16 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €1 000r = 7%t = 16
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€200 000 のローンを 25 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €200 0004.2% / 12N = 300
A = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 6% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%YTM = 3.5%n = 5
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 16 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%）が €1 281 で売られています。発行者は 6 年後に €1 070 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%P = €1 281繰上償還価格 = €1 070繰上償還まで 6 年
YTC = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 1.5 です。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
D/E = 1.5re = 9%rd = 3.5%T = 25.8%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.2 で 1.2 です。負債資本比率を 1.5 に引き上げる計画です。税率は 28%、無リスク金利は 1.5%、市場リスクプレミアムは 6.5% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.2D/E1 = 0.2D/E2 = 1.5T = 28%rf = 1.5%rm − rf = 6.5%
re = %
7.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€15 000, €7 000, €8 000, €9 000。資本コストは 15% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 15%CF0 = −30 000CF1 = 15 000CF2 = 7 000CF3 = 8 000CF4 = 9 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €5 000 で、9 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 4% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €50 000CF1 = €5 000g = 4%n = 9r = 10%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 3065 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.07·16 = 1.12
e1.12 = 3.065
将来価値
FV = 1 000·3.065 = €3 064.85
2.貨幣の時間価値
答え: A = 1078 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·25 = 300
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.3506
A = 200 000·0.0035/(1 − 0.3506) = €1 077.88
3.債券の価格と利回り
答え: P = 1114 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €30.00, i = 0.0175, N = 10
クーポンの現在価値
€30.00·(1 − 0.8407)/0.0175 = €273.04
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTC = 2.912 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1281 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1070/(1 + y)6
数値的に解く
y = 2%: €1 342.23
y = 3%: €1 275.31
YTC = 2.912%
最終利回りは 4.499% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.158 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 1.5) = 0.4
D/V = 1.5/(1 + 1.5) = 0.6
WACC
WACC = 0.4·9% + 0.6·3.5%·(1 − 0.258) = 5.158%
6.CAPM と WACC
答え: re = 15.68 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.2/(1 + 0.72·0.2) = 1.049
新しい D/E でリレバーする
βL = 1.049·(1 + 0.72·1.5) = 2.182
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 2.182·6.5% = 15.68%
7.NPV と IRR
答え: NPV = −1258 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 15 000/1.15 = 13 043.48
CF2/(1 + 0.15)2 = 7 000/1.322 = 5 293.01
CF3/(1 + 0.15)3 = 8 000/1.521 = 5 260.13
CF4/(1 + 0.15)4 = 9 000/1.749 = 5 145.78
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
8.NPV と IRR
答え: NPV = −16969 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.04)/(1.1))9 = 0.6036
PV = 5 000/(0.1 − 0.04)·(1 − 0.6036) = 33 031.40
NPV
NPV = 33 031.40 − 50 000 = −€16 968.60
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。