1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 17.5%、毎日複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 17.5%m = 365
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
€250 000 の住宅ローンを、年 7.2%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。14 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €250 0007.2% / 12N = 360k = 168
B = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%YTM = 9%n = 5
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは 4% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%n = 5YTM = 4%
D = 年
5.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €2 000 000D = €6 000 000re = 10%rd = 4.5%T = 30%
WACC = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €51.50 の株式 4 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 21% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。
β = 0.8rf = 3.5%rm = 7.5%rd = 3%T = 21%
WACC = %
7.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €30 000、耐用年数は 7 年、運転費は毎年 €5 000（各年末に支払い）です。資本コストは 8% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €30 000M = €5 000n = 7r = 8%
EAC = €
8.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €10 000 で、6 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 5% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €50 000CF1 = €10 000g = 5%n = 6r = 10%
NPV = €
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 19.12 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 期あたりの利率
r/m = 0.175/365 = 0.0004795
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.0004795)365 − 1 = 1.191 − 1 = 19.12%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: B = 193145 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.006, N = 360
A = 250 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)−360) = €1 696.97
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 360 − 168 = 192
B = 1697·(1 − (1 + 0.006)−192)/0.006 = €193 145.29
3.債券の価格と利回り
答え: P = 762.6 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €15.00, i = 0.045, N = 10
クーポンの現在価値
€15.00·(1 − 0.6439)/0.045 = €118.69
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: D = 4.797 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 20/1.04 = 19.23, t·PV = 19.23
t = 2: 20/1.082 = 18.49, t·PV = 36.98
t = 3: 20/1.125 = 17.78, t·PV = 53.34
t = 4: 20/1.17 = 17.10, t·PV = 68.38
t = 5: 1020/1.217 = 838.37, t·PV = 4 191.83
デュレーション
P = 910.96
D = 4 369.77/910.96 = 4.797
5.CAPM と WACC
答え: WACC = 4.862 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €8 000 000, E/V = 0.25, D/V = 0.75
WACC
WACC = 0.25·10% + 0.75·4.5%·(1 − 0.3) = 4.862%
6.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.967 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€51.50 = €206 000 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 0.8·4% = 6.7%
ウェイト
V = €248 000 000, E/V = 0.8306, D/V = 0.1694
WACC
WACC = 0.8306·6.7% + 0.1694·3%·(1 − 0.21) = 5.967%
7.NPV と IRR
答え: EAC = 10762 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.08−7)/0.08 = 5.206
EAC
EAC = 5 762.17 + 5 000 = €10 762.17
8.NPV と IRR
答え: NPV = −1290 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.05)/(1.1))6 = 0.7564
PV = 10 000/(0.1 − 0.05)·(1 − 0.7564) = 48 710.19
NPV
NPV = 48 710.19 − 50 000 = −€1 289.81
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。