1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
6 年後に €15 000 が必要です。口座の利率は年 5%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €15 0005% / 4n = 6
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€250 000 の住宅ローンを、年 7.2%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。14 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €250 0007.2% / 12N = 240k = 168
B = €
3.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%YTM = 5%n = 9
P = €
4.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、6 年後に満期を迎えます。価格は €1 026 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5% (2×)n = 6P = €1 026
YTM = %
5.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €6 000 000、負債の価値は €4 000 000 です。WACC は 7.75%、税引前負債コストは 4%、税率は 28% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €6 000 000D = €4 000 000WACC = 7.75%rd = 4%T = 28%
re = %
6.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.9 です。負債資本比率を 0.4 にする計画です。税率は 30%、無リスク金利は 2.5%、市場リスクプレミアムは 7% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 0.9D/E = 0.4T = 30%rf = 2.5%rm − rf = 7%
re = %
7.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€7 000, €9 000, €13 000, €15 000。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 8%CF0 = −30 000CF1 = 7 000CF2 = 9 000CF3 = 13 000CF4 = 15 000
NPV = €
8.NPV と IRRむずかしい
€10 000 の投資が 8 年間、毎年末に €1 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €10 000CF = €1 500n = 8
IRR = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 11133 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.05/4 = 0.0125
N = 4·6 = 24
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1.347 = €11 132.96
2.貨幣の時間価値
答え: B = 114806 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.006, N = 240
A = 250 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)−240) = €1 968.37
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 240 − 168 = 72
B = 1968·(1 − (1 + 0.006)−72)/0.006 = €114 806.04
3.債券の価格と利回り
答え: P = 856.5 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €15.00, i = 0.025, N = 18
クーポンの現在価値
€15.00·(1 − 0.6412)/0.025 = €215.30
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
4.債券の価格と利回り
答え: YTM = 4.008 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
5.CAPM と WACC
答え: re = 11 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €10 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4
WACC の負債の部分
0.4·4%·(1 − 0.28) = 1.152%
株主資本コスト
re = (7.75% − 1.152%)/0.6 = 11%
6.CAPM と WACC
答え: re = 10.56 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 0.9·(1 + 0.7·0.4) = 1.152
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.152·7% = 10.56%
7.NPV と IRR
答え: NPV = 5543 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.08)1 = 7 000/1.08 = 6 481.48
CF2/(1 + 0.08)2 = 9 000/1.166 = 7 716.05
CF3/(1 + 0.08)3 = 13 000/1.26 = 10 319.82
CF4/(1 + 0.08)4 = 15 000/1.36 = 11 025.45
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
8.NPV と IRR
答え: IRR = 4.239 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−8)/i = 10 000/1 500 = 6.667
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 4%: 6.733
i = 5%: 6.463
IRR = 4.239%