歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 120 mm の駆動プーリ上を 2880 rpm で走っています。張力は張り側で 1000 N、緩み側で 300 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 120 mmn1 = 2880 rpmT1 = 1000 NT2 = 300 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
960 rpm の 7.5 kW のモータが歯車 A（歯数 24）を駆動し、A は歯車 B（歯数 40）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 30）が出力軸の歯車 D（歯数 50）を駆動する。各かみ合いの効率は 96% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 7.5 kWnin = 960 rpmA = 24B = 40C = 30D = 50ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
長さ 1.2 m のアルミニウム製の中実軸がトルク 1500 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 2° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 1500 N·mL = 1.2 mG = 26 GPaφallow = 2°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 750 rpm で 100 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 100 kWN = 750 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −30 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 60°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −30 MPaσy = 100 MPaτxy = −20 MPaθ = 60°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 1200 mm、肉厚 15 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 2.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 25° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目に沿って作用するせん断応力の大きさ |τn| を求めよ。
D = 1200 mmt = 15 mmp = 2.5 MPaα = 25°
|τn| = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 80 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 80 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 120 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 40 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 90 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 90 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 8 kN/m のばねにつながれた 8 kg の質量に、減衰比 0.4 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 8 kgk = 8 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量がばね k₃ = 60 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 40 kN/m と k₂ = 25 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 50 kgk1 = 40 kN/mk2 = 25 kN/mk3 = 60 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 12.67 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 18.1 m/s
電力
P = (1000 − 300)·18.1 = 12667 W = 12.67 kW
答え
P = 12.67 kW
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 191 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 960·(24/40)·(30/50) = 345.6 rpm
ωout = 2π·345.6/60 = 36.19 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 7500·0.96² = 6912 W
Tout = Pout/ωout = 6912/36.19 = 191 N·m
答え
Tout = 191 N·m
3.軸のねじり
答え: d = 67.04 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 2·π/180 = 0.03491 rad
J = TL/(Gφ) = 1.5 × 10⁶·1200/(26000·0.03491) = 1.983 × 10⁶ mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 67.04 mm
答え
d = 67.04 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: d = 47.63 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.273 × 10⁶/(π·60)) = 47.63 mm
答え
d = 47.63 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 19.82 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 35 − (−65)·(−0.5) − (−20)·0.866 = 19.82 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = 50.18 MPa, σx′ + σy′ = 70 = σx + σy
答え
σy′ = 19.82 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: |τn| = 19.15 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 2.5·600/15 = 100 MPa
σa = pr/(2t) = 50 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
|τn| = (100 − 50)·sin 25°·cos 25° = 19.15 MPa
答え
|τn| = 19.15 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.03482 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·7461 = 9.189 × 10⁸ N
縮み
δ = 80000·400/9.189 × 10⁸ = 0.03482 mm
答え
δ = 0.03482 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 23.13 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 120000·706.9/500 = 169646 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 40000·169646/415083 = 16348 N
応力
σ2 = 16348/706.9 = 23.13 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 23.13 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 78.75 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/4200² = 78746 N = 78.75 kN
答え
Pcr = 78.75 kN
10.柱の座屈
答え: d = 62.16 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·90000 = 225000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 62.16 mm
答え
d = 62.16 mm
確認：細長比 KL/r は 96.53 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 4.613 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(8000/8) = 31.62 rad/s
fn = 31.62/(2π) = 5.033 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 5.033·√(1 − 0.4²) = 4.613 Hz
答え
fd = 4.613 Hz
12.機械振動
答え: fn = 3.976 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 40 + 25 = 65 kN/m
keq = 65·60/(65 + 60) = 31.2 kN/m
固有振動数
ωn = √(31200/50) = 24.98 rad/s
fn = 24.98/(2π) = 3.976 Hz
答え
fn = 3.976 Hz
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