歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 100 mm の駆動プーリ上を 1500 rpm で走っています。張力は張り側で 1200 N、緩み側で 600 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 100 mmn1 = 1500 rpmT1 = 1200 NT2 = 600 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、100 rpm の直径 720 mm の駆動プーリと直径 400 mm のプーリをつなぎ、中心は 800 mm 離れています。摩擦係数は 0.25 で、張り側の張力は 1000 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 100 mmn1 = 720 rpmd2 = 400 mmC = 800 mmμ = 0.25T1 = 1000 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
鋼製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 40 mm、長さ 2 m、区間 BC は直径 30 mm、長さ 1.2 m である。自由端 C にトルク 200 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。
T = 200 N·md1 = 40 mm, L1 = 2 md2 = 30 mm, L2 = 1.2 mG = 80 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 500 rpm で 15 kW を伝達し、せん断応力が 75 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 500 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 100 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 100 MPaσy = −80 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 40 MPaσy = −20 MPaτxy = −50 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 50 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 50 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 30 kN区間 1：Ø35 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 60 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 60 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
20 kg の質量が、ばね定数 50 kN/m のばねと、減衰係数 300 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 20 kgk = 50 kN/mc = 300 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
100 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 80 kN/m、下のばねは k₂ = 50 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 100 kgk1 = 80 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 4.712 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 7.854 m/s
電力
P = (1200 − 600)·7.854 = 4712 W = 4.712 kW
答え
P = 4.712 kW
2.歯車と歯車列
答え: P = 1.881 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 2.764 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.6911 = 1.996, T₂ = 1000/1.996 = 501 N
電力
P = (1000 − 501)·3.77 = 1.881 kW
答え
P = 1.881 kW
3.軸のねじり
答え: φC = 3.301 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J1 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
各区間のねじれ角
T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 200000·2000/(80000·251327) = 0.01989 rad
φBC = 200000·1200/(80000·79522) = 0.03773 rad
全ねじれ角
φC = 0.01989 + 0.03773 = 0.05762 rad = 3.301°
答え
φC = 3.301°
4.軸のねじり
答え: d = 26.89 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·286479/(π·75)) = 26.89 mm
答え
d = 26.89 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 9.217 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·30, 100 − −80) = 18.43°
要素上の角度
θp = 9.217°
答え
θp = 9.217°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −18.3 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 10 + 30·0.5 + −50·0.866 = −18.3 MPa
答え
σθ = −18.3 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.02113 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·8482 = 9.464 × 10⁸ N
縮み
δ = 50000·400/9.464 × 10⁸ = 0.02113 mm
答え
δ = 0.02113 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.9019 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 31.18 MPa
σ2 = 149.2 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 31.18·500/100000 = 0.1559 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 149.2·500/100000 = 0.746 mm
δ = δ1 + δ2 = 0.9019 mm
答え
δ = 0.9019 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 17.55 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·3000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/6000² = 17546 N = 17.55 kN
答え
Pcr = 17.55 kN
10.柱の座屈
答え: d = 82.55 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·60000 = 180000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 82.55 mm
答え
d = 82.55 mm
確認：細長比 KL/r は 242.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.15
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·20) = 2000 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 300/2000 = 0.15
答え
ζ = 0.15
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 2.792 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/80 + 1/50 → keq = 80·50/(80 + 50) = 30.77 kN/m
固有振動数
ωn = √(30769/100) = 17.54 rad/s
fn = 17.54/(2π) = 2.792 Hz
答え
fn = 2.792 Hz
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